[論文レビュー] Non-Improved Uniform Tail Estimates for Normed Sums of Independent Random Variables with Heavy Tails, with applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Probability and Risk Models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、特性関数から導かれる自然なノーマライズング順序を用いて、正規化された和の非改善型一様尾確率推定値を、正規化された和の重尾を持つ独立同分布の確率変数に対して確立する。主な貢献は、すべての $ r \in (0,2) $、$ r=2 $、$ r>2 $ に対して有効な、一様尾関数 $ U(x) = \sup_n \mathbf{P}( |S(n)| \geq x ) $ の鋭い上界を提供することである。応用は、モンテカルロ法およびバナッハ空間における中心極限定理・安定極限定理に及ぶ。

ABSTRACT

We obtain an uniform tail estimates for natural normed sums of independent random variables (r.v.) with regular varying tails of distributions. We give also many examples on order to show the exactness of offered estimates and discuss some applications in the method Monte-Carlo and statistics, and obtain the sufficient conditions for Central and stable limit theorem in the Banach space of continuous function. There are considered a slight generalization on a random variables with super-heavy tails and martingale difference scheme.

研究の動機と目的

• 独立同分布の重尾を持つ確率変数の正規化和の非改善型一様尾確率推定値を導出すること。
• 一様尾関数 $ U(x) = \sup_n \mathbf{P}( |S(n)| \geq x ) $ の振る舞いを、元の尾関数 $ T(x) = \mathbf{P}(|\xi| \geq x) $ の観点から特徴付けること。
• これらの尾確率推定値を用いて、連続関数のバナッハ空間における中心極限定理および安定極限定理の十分条件を確立すること。
• 超重尾（対数的減衰）および非対称・非同一分布の場合への結果の拡張。
• モンテカルロ法および重尾ノイズ下での統計的推定への応用の提供。

提案手法

• ノーマライズング順序 $ b(n) $ を、$ \psi_{\xi}(1/b(n)) = n $ の正の解として定義する。ここで $ \psi(t) = \mathbf{E}[1 - \operatorname{Re}(e^{it\xi})] $ である。
• 非対称な場合に対処するため、対称化された特性関数 $ \overline{\psi}(t) = \sup_{\lambda \in (0,1)} \frac{\psi(\lambda t)}{\psi(\lambda)} $ を用いる。
• 一様尾関数に対して、$ x > e $ に対して有効な不等式 $ U(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ を確立する。
• モーメントと尾の比較技術を用い、$ L^p $-ノルムとチェビシェフ型不等式を用いて、モーメント条件の下での境界を導出する。
• 非同一分布の確率変数に対しては、尾の振る舞いに一様な境界を仮定する：$ C_1 x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) \leq T_{\xi(k)}(x) \leq C_2 x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) $。
• 非一様ノーマライズング順序に対しては、オーリッチ空間の枠組みを用い、$ \|a\|_\psi = \inf\{ t > 0 : \sum_k \psi(|a(k)|/t) \leq 1 \} $ を定義し、$ \overline{U}(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同分布の確率変数 $ \xi(k) $ が正規化された和 $ S(n) = b(n)^{-1} \sum_{k=1}^n \xi(k) $ を持ち、尾が正規化された和の重尾を持つとき、その非改善型一様尾確率推定値は何か？
• RQ2 確率変数 $ \mathbf{P}(|\xi| \geq x) \sim x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) $ を満たすとき、ノーマライズング順序 $ b(n) $ の漸近的挙動はどのようになるか？
• RQ3 一様尾関数 $ U(x) $ は、元の尾関数 $ T(x) $ の観点から、すべての $ n $ に対して一様に境界づけられるか？その境界の形は何か？
• RQ4 これらの尾確率推定値は、連続関数のバナッハ空間における中心極限定理および安定極限定理にどのような影響を与えるか？
• RQ5 非対称・非同一分布・超重尾の確率変数に対しても、これらの結果はどのように拡張されるか？

主な発見

• 一様尾関数は、$ x > e $ に対して $ U(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ を満たし、非改善型だが鋭い一様境界を提供する。
• $ r \in (0,2) $ の場合、条件 $ L(X^{1/r} / (\log^\gamma X \, L^{1/r}(\log X))) \asymp L(X) $ が $ X \to \infty $ のとき成り立つ限り、ノーマライズング順序は漸近的に $ b(n) \sim n^{1/r} \log^{\gamma/r} n \, L^{1/r}(\log n) $ と振る舞う。
• $ \mathbf{E}|\xi|^r < \infty $ のとき、尾の推定値 $ U(x) \leq \exp(-C_1 x^{\min(m,2)}) $ が、指数的尾 $ T(x) = \exp(-C x^m) $（$ m \in [1,\infty) $）に対して成り立つ。
• 非対称な確率変数で、$ r \in (1,2] $ の場合 $ \mathbf{E}\xi = 0 $ または $ r=1 $ の場合に一様に有界な切り捨て期待値を持つ場合、対称性がなくても結果は拡張可能である。
• 非一様ノーマライズングの場合、すべての列 $ a $ に対して $ \|a\|_\psi \leq 1 $ を満たすとき、境界 $ \overline{U}(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ が成り立つ。これは一様ケースの一般化である。
• モーメントによる尾の比較により、$ T_\xi(x) \leq \inf_{p \in [1,r)} \left[ x^{-p} |\eta|_p^p \right] $ が得られ、重尾分布のモーメント情報から境界を導く手法が提供される。