[論文レビュー] Non-optimal levels of a reducible mod l modular representation

Hwajong Yoo|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、平方因子なしのレベル $N$ の重み2新形式が、$\ell$ を法とする可約なガロア表現をもち、$N$ を割る素数 $p$ に対して $U_p$-固有値が $\pm1$ に指定されるような場合に、その存在に十分な条件を確立する。Ribetの正確列とシュイマ曲線の幾何学に基づくレベル上昇技術を用いて、このような新形式が存在するための許容可能な $t$-重組 $p_1, \dots, p_t$ を特徴づけ、特に $\ell \geq 5$ かつ表現が $\mathbbm{1} \oplus \chi_\ell$ の場合に注目する。主な貢献は、低ランクの場合の非最適なレベルの完全分類である。

ABSTRACT

Let $\ell \geq 5$ be a prime and let $N$ be a square-free integer prime to $\ell$. For each prime $p$ dividing $N$, let $a_p$ be either $1$ or $-1$. We give sufficient criteria for the existence of a newform $f$ of weight 2 for $Γ_0(N)$ such that the mod $\ell$ Galois representation attached to $f$ is reducible and $U_p f = a_p f$ for primes $p$ dividing $N$. The main techniques used are level raising methods based on an exact sequence due to Ribet.

研究の動機と目的

• 非最適なレベル $N$ が、可約な $\ell$ を法とするガロア表現 $\overline{\rho}_f \simeq \mathbbm{1} \oplus \chi_\ell$ をもつ重み2新形式を支持できるかどうかを特定すること。
• 互いに異なる素数 $p_1, \dots, p_t$ の許容可能な $t$-重組を特徴づけ、レベル $N = \prod p_i$ の新形式が、指定された $U_p$-固有値 $\pm1$ をもつこと。
• 可約な場合、特に $\ell$ を法とする表現が非可約でない場合に、Ribetの正確列とシュイマ曲線のヤコビアンを用いて、レベル上昇法を拡張すること。
• スコロボガトフ部分群と退化写像がヤコビアン間の写像の核を制御する役割を調査し、これはレベル上昇において本質的である。
• Ribetの必要条件がほとんどの場合、特に $t \leq 4$ の場合に十分でもあることを証明し、例外的な場合の十分条件を提示すること。

提案手法

• ヘッケ環とガロア表現の構造を、より高いレベルでの新形式の存在と関連付けるために、Ribetの正確列を用いる。
• シュイマ曲線のヤコビアンの幾何学に基づくレベル上昇技術を適用し、特に $J_0^{pD}(N)$ と $J_0^{pD}(Np)$ 間の退化写像の核に注目する。
• 素数 $p$ における $J_0^{pD}(N)$ のスコロボガトフ部分群 $\Sigma_p$ を用い、これはシュイマ曲線の非分岐被覆に基づき定義され、$U_p$-作用が $-1$ であることが知られている。
• スコロボガトフ部分群上のヘッケ作用素 $U_p$, $U_q$, $T_k$ の作用を分析し、$U_p$ が $-1$ に、$U_q$ が $1$ に、$k \nmid pDN$ のとき $T_k$ が $k+1$ に作用することを示す。
• $J_0^{pr}(1) \times J_0^{pr}(1) \to J_0^{pr}(q)$ の退化写像の核 $K$ を用い、これは $\Sigma_r$ の反対角埋め込みを含み、ヘッケモジュール内の非自明な $\ell$- torsion を検出する。
• 多重性1の定理と $\mathbb{F}_p$ 上の成分群の計算に依存し、$\ell$ を法とするガロア表現の構造を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 互いに異なる素数の $t$-重組 $(p_1, \dots, p_t)$ で、$N = \prod p_i$ のとき、重み2、レベル $N$ の新形式 $f$ が存在し、$\overline{\rho}_f \simeq \mathbbm{1} \oplus \chi_\ell$ かつ $U_{p_i}f = a_i f$（$a_i = \pm1$）を満たすのはどのような場合か？
• RQ2 $N$ を割らない素数 $p$ について、レベルを $N$ から $Np$ に上昇させたとき、$\ell$ を法とするガロア表現が可約のままかつ $U_p$-固有値が保存される条件は何か？
• RQ3 許容性のための必要条件（$j > s$ のとき $p_j \equiv -1 \pmod{\ell}$ かつ $s = t$ のとき $\ell \mid \prod_{i=1}^t (p_i - 1)$）が、いつ十分条件にもなるか？
• RQ4 スコロボガトフ部分群 $\Sigma_p$ は、シュイマ曲線のヤコビアン間の退化写像の核において果たす役割は何か？また、これはより高いレベルでの新形式の存在にどのように影響するか？
• RQ5 例外的な場合（例：$t=2,3,4$）では、標準的なレベル上昇法が失敗するが、許容性を保証するためには、より複雑な条件が必要となるのか？

主な発見

• $s = 1$, $t \geq 2$ で、$\ell \geq 5$ の下で、$2 \leq j \leq t$ のとき $p_j \equiv -1 \pmod{\ell}$ ならば、$t$-重組 $(p_1, \dots, p_t)$ は $s$ に対して許容可能である。
• $s = t$ が偶数で $t \geq 4$ のとき、定理6.4で述べられるような、成分群とヘッケモジュール構造に関する複雑な条件を満たせば、許容性が成立する。
• $s = t$ が奇数で $\ell \mid \prod_{i=1}^t (p_i - 1)$ のとき、$t$-重組は許容可能であり、この場合の完全な特徴づけが得られる。
• $s+1 = t$ で $t$ が偶数、かつ $p_t \equiv -1 \pmod{\ell}$ ならば、$t$-重組は許容可能であり、レベル上昇プロセスが拡張される。
• $s < t$ で $t$ が偶数のとき、$(t-1)$-重組 $(p_1, \dots, p_{t-1})$ が $s$ に対して許容可能、または $(p_2, \dots, p_t)$ が $s-1$ に対して許容可能ならば、同じ偶奇性と合同条件のもとで許容性が保たれる。
• $t=4$, $s=4$ の場合、定理6.4のより複雑な条件が満たされていれば、$\ell \mid \prod_{i=1}^4 (p_i - 1)$ かつ $i=1,2,3,4$ に対して $p_i \equiv -1 \pmod{\ell}$ であることが、許容性の条件と同値である。