[論文レビュー] Non Planar Topological 3-Vertex Formalism

L.B. Drissi, Houda Jehjouh+1 more|ArXiv.org|Dec 27, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、基底が有限ケーラー・パラメータ $ t $ と大複素構造 $ |\mu|\to\infty $ を持つ退化した楕円曲線 $ E^{(t,\infty)} $ である局所カルビ＝ヤウ3-fold $ X^{(m,-m,0)} = \mathcal{O}(m)\oplus\mathcal{O}(-m)\rightarrow E^{(t,\infty)} $ 上の A-モデルトポロジカル弦振幅に対して、非平面なトポロジカル3頂点形式を構築する。$ \mathbb{P}^2 $ に曲線を埋め込むことで、基底に2次元トーラスが存在するが標準的なトーリック図が得られない問題を回避し、従来の平面的トポロジカル頂点に代わる非平面な頂点構造を用いて振幅を計算可能にする。

ABSTRACT

Using embedding of complex curves in the complex projective plane $\bf{P }^{2}$, we develop a \emph{non planar} topological 3-vertex formalism for topological strings on the family of local Calabi-Yau threefolds $X^{(m,-m,0) }=\mathcal{O}(m)\oplus \mathcal{O}(-m) o E^{(t,\infty)}$. The base $E^{(t,\infty)}$ stands for the degenerate elliptic curve with Kahler parameter $t$; but a large complex structure $μ$; i.e $| μ| \longrightarrow \infty $. We also give first results regarding A-model topological string amplitudes on $X^{(m,-m,0)}$. The 2D $U(1) $ gauged $\mathcal{N}=2$ supersymmetric sigma models of the degenerate elliptic curve $ E^{(t,\infty)}$ as well as for the family $X^{(m,-m,0)}$ are studied and the role of D- and F-terms is explicitly exhibited.

研究の動機と目的

• 2次元トーラスがファイバーではなく基底に位置する非コンパクトなトーリックカルビ＝ヤウ3-foldに対して、平面的配置を超えたトポロジカル頂点形式の拡張を図ること。
• 基底の2次元トーラスにトーリック図を構成する課題を、大複素構造 $ |\mu|\to\infty $ を持つ退化した楕円曲線 $ \partial(\mathbb{P}^2) $ として $ \mathbb{P}^2 $ の境界を用いることで解決すること。
• $ X^{(m,-m,0)} $ 上の A-モデルトポロジカル弦振幅を、標準的な平面的頂点法に代えて非平面な3頂点形式を用いて計算すること。
• $ U(1) $ ゲージ化 $ \mathcal{N}=2 $ スーパーシンメトリー sigma モデルにおける D-項および F-項の役割を、退化した楕円曲線 $ E^{(t,\infty)} $ および全ファミリー $ X^{(m,-m,0)} $ において分析すること。

提案手法

• 大複素構造極限 $ |\mu|\to\infty $ を用いて、退化した楕円曲線 $ E^{(t,\infty)} $ を複素射影平面の境界 $ \partial(\mathbb{P}^2) $ として埋め込む。
• 局所カルビ＝ヤウ3-fold $ X^{(m,-m,0)} $ を4次元空間 $ \mathcal{O}(m)\oplus\mathcal{O}(-m)\rightarrow\mathbb{P}^2 $ 上の非コンパクトなトーリック超曲面として実現する。
• 基底 $ E^{(t,\infty)} $ の非トーリックなファイブレーション構造に適した配置に置き換えることで、標準的な平面的3頂点 $ C_{\lambda\mu\nu} $ を非平面なトポロジカル3頂点形式に再構成する。
• $ \mathbb{P}^2 $ 内の $ z_i=0 $ で定義される3つの除数 $ \mathcal{D}_i $ を用いて、ケーラー・パラメータ $ t $ を共有する3つの $ \mathbb{P}^1 $ の和集合として退化曲線を実現する。
• 大 $ |\mu| $ における方程式 $ \mu z_1 z_2 z_3 = 0 $ の $ \mathbb{C}^* $ 不変性を活用し、境界曲線 $ E^{(t,\infty)} $ を定義する。
• 形式主義を用いて、$ X^{(m,-m,0)} $ 上の A-モデルトポロジカル弦振幅の最初の結果を計算し、$ U(1) $ ゲージ化 $ \mathcal{N}=2 $ サイクリック・モデルにおける D-項および F-項の寄与を明示的に分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラスがファイバーではなく基底にある局所カルビ＝ヤウ3-foldに対して、非平面なトポロジカル3頂点形式を構築可能か？
• RQ2 大複素構造を持つ退化した楕円曲線 $ E^{(t,\infty)} $ を $ \mathbb{P}^2 $ の境界としてどのように実現し、トーリック記述を可能にするか？
• RQ3 退化した楕円曲線 $ E^{(t,\infty)} $ 上の $ U(1) $ ゲージ化 $ \mathcal{N}=2 $ サイクリック・モデルにおいて、D-項および F-項の役割は何か？
• RQ4 $ X^{(m,-m,0)} $ 上のトポロジカル弦振幅は、標準的な平面的トポロジカル頂点によって得られるものとどのように異なるか？
• RQ5 大複素構造極限 $ |\mu|\to\infty $ を用いて、標準的トポロジカル頂点を一般化する一貫性のある非平面頂点形式を定義可能か？

主な発見

• $ \partial(\mathbb{P}^2) $ が、$ \mathbb{P}^2 $ の幾何から引き継がれるケーラー・パラメータ $ t $ と大複素構造 $ |\mu|\to\infty $ を持つ退化した楕円曲線 $ E^{(t,\infty)} $ として特定される。
• $ \mathbb{P}^2 $ 内の $ z_i=0 $ で定義される3つの除数 $ \mathcal{D}_i $ は、実際の基底上で正三角形を形成し、各々ケーラー・パラメータ $ t $ を共有しており、それらの交わりが退化曲線 $ E^{(t,\infty)} $ を実現する。
• 大複素構造極限において、定義式 $ \mu z_1 z_2 z_3 = 0 $ が支配的になり、$ \mathbb{C}^* $ 不変性を満たすため、$ \partial(\mathbb{P}^2) $ が $ E^{(t,\infty)} $ として同定可能であることが裏付けられる。
• 基底 $ E^{(t,\infty)} $ の非トーリックなファイブレーション構造のため、標準的な平面的頂点に代わる非平面3頂点形式が提案される。
• この形式主義により、$ X^{(m,-m,0)} $ 上の A-モデルトポロジカル弦振幅に対する非平面頂点を用いた最初の計算が可能となり、トポロジカル頂点法の適用範囲が拡張される。
• $ U(1) $ ゲージ化 $ \mathcal{N}=2 $ サイクリック・モデルにおける $ E^{(t,\infty)} $ 上の D-項および F-項の寄与が明示的に示され、有効作用と振幅構造におけるそれらの役割が明らかになる。