[論文レビュー] Non-uniqueness of closed embedded non-smooth hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature

Yoshiki Jikumaru, Miyuki Koiso|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ℝⁿ⁺¹における定常異方的平均曲率（CAMC）をもつ閉じた埋め込み超曲面の非一意性を、凸でないC²異方的関数γの具体例を構成することで示している。等方的の場合とは異なり、Wulff形状が一意的な最小化子であるが、著者らは非凸なγがWulff形状にホモテティックでないCAMC超曲面を生じることを示し、さらに異方的平均曲率流れにおける非自明な自己相似収縮解の構成も行った。

ABSTRACT

An anisotropic surface energy is the integral of an energy density that depends on the normal at each point over the considered surface, and it is a generalization of surface area. The minimizer of such an energy among all closed surfaces enclosing the same volume is unique and it is (up to rescaling) so-called the Wulff shape. We prove that, unlike the isotropic case, there exists an anisotropic energy density function such that there exist closed embedded equilibrium surfaces with genus zero in the three-dimensional Euclidean space each of which is not (any homothety and translation of) the Wulff shape. We also give nontrivial self-similar shrinking solutions of anisotropic mean curvature flow. These results are generalized to hypersurfaces in the (n+1)-dimensional Euclidean space.

研究の動機と目的

• 閉じた埋め込みCAMC超曲面がℝⁿ⁺¹においてWulff形状にホモテティックでなければならないかどうかを、特に位相的制約や安定性の下で調査すること。
• Wulff形状が滑らかでないか非凸である場合に、CAMC超曲面がホモテティと平行移動の下で一意的であるという期待に反して、その一意性が保たれるかを検証すること。
• Wulff形状にホモテティックでない閉じた埋め込みCAMC超曲面をもつ、明示的な非凸異方的関数γの例を構成すること。
• 異方的平均曲率流れへとこれらの結果を拡張し、非自明な自己相似収縮解を構成すること。

提案手法

• 球面Sⁿからℝ>₀へのC²で非凸な異方的関数γを、球面調和関数と回転対称性を用いて構成する。
• Cahn-Hoffman写像ξγ(ν) = Dγ|ν + γ(ν)νを定義し、Wulff形状をこの写像によるγの像として特徴付ける。
• Cahn-Hoffman場を用いて、ℝⁿ⁺¹へのC²でないが分片的C²の弱埋め込みX:M→ℝⁿ⁺¹を定義し、その異方的平均曲率が定数となるようにする。
• 非凸なγに対するCahn-Hoffman写像の像が、Wulff形状にホモテティックでない定常異方的平均曲率をもつ閉じた埋め込み曲面を含むことを証明する。
• 公式Λ = (1/n)(−divₘDγ + nHγ)を用いて直接計算により、これらの曲面上での異方的平均曲率Λが定数であることを検証する。
• 異方的平均曲率流れに対して、特定の曲面が流れ∂Xₜ/∂t = Λₜξₜの下で自己相似的に変化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸な異方的関数γに対して、ℝⁿ⁺¹における閉じた埋め込みCAMC超曲面がWulff形状にホモテティックでないものが存在しうるか？
• RQ2 Wulff形状が滑らかでないか非凸である場合でも、γが非凸であっても、CAMC超曲面がホモテティと平行移動の下で一意的であるという性質が保たれるか、特にℝ³における genus-zero 表面について。
• RQ3 非凸な異方的関数が、異方的平均曲率流れの非自明な自己相似収縮解を生じるか？
• RQ4 Cahn-Hoffman写像を用いて、Wulff形状でないCAMC超曲面の明示的例を構成できるか？
• RQ5 γにどのような条件を課すと、すべてのCAMC超曲面がWulff形状にホモテティックになるか？また、その条件がどこで失敗するか？

主な発見

• 本稿では、S¹からℝ>₀へのC∞関数γを構成し、それが非凸であり、ℝ²におけるWulff形状にホモテティックでない閉じた埋め込みCAMC曲線を生成することを示した。
• n=2の場合、S²からℝ>₀へのC∞で非凸なγ:S²→ℝ>₀を構成し、ℝ³における genus zero の閉じた埋め込みCAMC曲面がWulff形状Wγにホモテティックでないものが存在することを示した。
• 構成された例はCahn-Hoffman写像ξγの像の部分集合であり、その異方的平均曲率は定数で−1に等しい。
• 構成されたγ₂に対するWulff形状Wγ₂は滑らかな曲面ではなく、埋め込みCAMC曲面とは異なり、分片的C∞であり、Wγ₂にホモテティックでもない。
• S²上でのγ₂の明示的公式と、そのCahn-Hoffman写像ξγ₂の公式を提供し、その像が複数の異なるCAMC曲面を含むことを示した。
• 非自明な自己相似収縮解を異方的平均曲率流れに対して構成した。∂Xₜ/∂t = Λₜξₜで、Λₜ = -1/√(2(c−t))を満たし、流れの文脈における非一意性を示した。