[論文レビュー] Noncommutative continuous Bernoulli shifts

Jürgen Hellmich, Claus Köstler+1 more|ArXiv.org|Nov 25, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 74被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、${\mathcal{A}}_0$-独立性と可換正方形を用いて作用素代数における確率的独立性をモデル化することで、ツィレルソン＝ヴァーシクの古典的ノイズの一般化として非可換連続ベルヌーイシフトを導入する。加法的および単位的シフトコサイクルの間の全単射対応を確立し、非可換伊藤積分および確率的指数関数・対数関数を用いて、リーヴィ過程の作用素代数的枠組みを構築するとともに、アーヴェソンの積系へと関連付ける。

ABSTRACT

We introduce a non-commutative extension of Tsirelson-Vershik's noises, called (non-commutative) continuous Bernoulli shifts. These shifts encode stochastic independence in terms of commuting squares, as they are familiar in subfactor theory. Such shifts are, in particular, capable of producing Arveson's product system of type I and type II. We investigate the structure of these shifts and prove that the von Neumann algebra of a (scalar-expected) continuous Bernoulli shift is either finite or of type III. The role of (`classical') stationary flows for Tsirelson-Vershik's noises is now played by cocycles of continuous Bernoulli shifts. We show that these cocycles provide an operator algebraic notion for Levy processes. They lead, in particular, to units and `logarithms' of units in Arveson's product systems. Furthermore, we introduce (non-commutative) white noises, which are operator algebraic versions of Tsirelson's `classical' noises. We give examples coming from probability, quantum probability and from Voiculescu's theory of free probability. Our main result is a bijective correspondence between additive and unital shift cocycles. For the proof of the correspondence we develop tools which are of interest on their own: non-commutative extensions of stochastic Ito integration, stochastic logarithms and exponentials.

研究の動機と目的

• 古典的ツィレルソン＝ヴァーシクのノイズを作用素代数的構造を用いて非可換設定に拡張すること。
• ${\mathcal{A}}_0$-独立性と部分因子理論からの可換正方形を用いて、非可換連続ベルヌーイシフトを定義・分析すること。
• GNS構成における加法的および単位的コサイクルの間の全単射対応を確立し、代数的にリーヴィ過程をモデル化すること。
• 非可換伊藤積分、確率的指数関数および対数関数を基礎的道具として構築すること。
• この理論をアーヴェソンの積系および自由確率論と関連付けること。例として量子確率および自由確率論の例を含む。

提案手法

• ${\mathcal{A}}_0$-独立性と作用素代数における可換正方形を用いて、非可換連続ベルヌーイシフトを導入する。
• ${\mathcal{A}}_0$-期待値付き確率空間のGNS表現を定義し、ヒルベルト双加群および連続GNSベルヌーイシフトを構成する。
• これらのシフトに加法的および乗法的コサイクルを構成し、単位的コサイクルはユニタリ過程に対応する。
• 非可換確率的指数関数および対数関数を用いて、加法的および単位的コサイクルの間の全単射対応を確立する。
• 簡単な適応過程に対して非可換伊藤積分を構築し、それを伊藤微分方程式へと拡張する。
• モジュラー理論およびラドン＝ニコディムの定理を用いて、GNS構成における随伴写像の存在および完全正値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツィレルソン＝ヴァーシクの古典的ノイズは、どのように作用素代数的非可換設定に一般化できるか？
• RQ2 ${\mathcal{A}}_0$-独立性および可換正方形は、非可換連続ベルヌーイシフトを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 連続ベルヌーイシフトのGNS表現において、加法的および単位的コサイクルはどのように関係するか？
• RQ4 この枠組みにおいて、非可換伊藤積分および確率的指数関数・対数関数は、どのように厳密に構成できるか？
• RQ5 これらのシフトは、非可換設定におけるアーヴェソンの積系およびリーヴィ過程とどのように関連するか？

主な発見

• スカラー期待値付き連続ベルヌーイシフトのフォン・ノイマン代数は、有限型またはタイプIII型である。
• GNSヒルベルト空間における加法的および単位的シフトコサイクルの間には全単射対応が存在し、リーヴィ過程分類の非可換類似が得られる。
• 連続GNSベルヌーイシフトの乗法的コサイクルは、アーヴェソンの積系における単位元およびその対数に対応する。
• GNS構成におけるモジュラー理論およびラドン＝ニコディム性を用いて、非可換伊藤積分が適応過程へと拡張される。
• 随伴写像および正値性の議論を用いて、確率的指数関数および対数関数が構成され、随伴写像$T^*$が完全正値であることが示される。
• モジュラー共役$J$およびモジュラー作用素$Δ$は、拡張写像$\bar{T}$と可換であり、すべての$t$に対して$T \circ \sigma_t^\psi = \sigma_t^\psi \circ T$が成り立つ。