[論文レビュー] Noncommutative Geometry and Conformal Geometry. II. Connes-Chern character and the local equivariant index theorem

Raphaël Ponge, Hang Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Getzlerのスケーリング法と熱核漸近展開における等変グリーナー＝ハダマール法を組み合わせることで、局所的等変インデックス定理の新しい証明を用いて、等変ディラクスペクトル三重対のコンネス＝シュルン・キャラクターを計算する。主な結果は、連続コchainsの循環コホモロジーにおけるコンネス＝シュルン・キャラクターの明示的公式であり、CMコサイクルを用いた検証と、JLOコサイクルの短時間極限の計算に応用される。

ABSTRACT

This paper is the second part of a series of papers on noncommutative geometry and conformal geometry. In this paper, we compute explicitly the Connes-Chern character of an equivariant Dirac spectral triple. The formula that we obtain for which was used in the first paper of the series. The computation has two main steps. The first step is the justification that the CM cocycle represents the Connes-Chern character. The second step is the computation of the CM cocycle as a byproduct of a new proof of the local equivariant index theorem of Donnelly-Patodi, Gilkey and Kawasaki. The proof combines the rescaling method of Getzler with an equivariant version of the Greiner-Hadamard approach to the heat kernel asymptotics. Finally, as a further application of this approach, we computate the short-time limit of the JLO cocycle of an equivariant Dirac spectral triple.

研究の動機と目的

• 等変ディラクスペクトル三重対のコンネス＝シュルン・キャラクターを、連続コchainsの循環コホモロジーにおいて明示的に計算すること。
• CMコサイクルが、標準的な周期的循環コホモロジーにとどまらず、連続的循環コホモロジーにおいてもコンネス＝シュルン・キャラクターを表すことを正当化すること。
• スケーリング法とグリーナー＝ハダマール熱核技法を組み合わせることで、局所的等変インデックス定理の新しい証明を提供すること。
• 等変ディラクスペクトル三重対におけるJLOコサイクルの短時間極限を計算すること。
• 非可換幾何学における等変および境界設定への熱核法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• C^\flat(M) \rtimes G の連続的周期的循環コホモロジーにおけるコンネス＝シュルン・キャラクターの代表元としてのCMコサイクルの使用。
• Getzlerのスケーリング法を用いて、等変設定における熱核漸近展開を分析すること。
• b-計量および等変作用素に対する熱核展開へのグリーナー＝ハダマール法の適応。
• 微分可能な等変熱核技法を用いて、熱核トレースの漸近展開を導出すること。
• I_{(H_R + \partial_t)^{-(m+1)}}(x,t) = \frac{1}{m!} t^m I_{(H_R + \partial_t)^{-1}}(x,t) という恒等式を用いて、漸近展開における高次項を簡略化すること。
• Grassmann変数や S^1-クロッシングを避けて、トランスグレッセッドJLOコサイクルと t=0 での整備性を用いて、JLOコサイクルの短時間極限を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変ディラクスペクトル三重対のコンネス＝シュルン・キャラクターは、どのように連続的循環コホモロジーにおいて明示的に計算できるか？
• RQ2 CMコサイクルが \mathbf{HP}^0(C^\infty(M) \rtimes G) においてコンネス＝シュルン・キャラクターを表す条件は何か？
• RQ3 スケーリング法とグリーナー＝ハダマール法の組み合わせによって、局所的等変インデックス定理を再証明できるか？
• RQ4 等変ディラクスペクトル三重対におけるJLOコサイクルの短時間極限は何か？
• RQ5 Grassmann変数や S^1-クロッシングといった補助的構成を用いずに、トランスグレッセッドJLOコサイクルの t=0 での整備性はどのように確立できるか？

主な発見

• コンネス＝シュルン・キャラクターは、熱トレースの漸近展開によって正当化され、\mathbf{HP}^0(C^\infty(M) \rtimes G) においてCMコサイクルによって表される。
• スケーリング法と熱核漸近展開における等変グリーナー＝ハダマール法の組み合わせによって、局所的等変インデックス定理の新しい証明が確立される。
• JLOコサイクルの短時間極限は、\gamma_\phi(Q)(0) = \frac{1}{(2q)!}(-i)^{n/2}(2\pi)^{-a/2} |\omega^{(\bullet,0)} \wedge \hat{A}(R^{TM^\phi}(0)) \wedge \nu_\phi(R^{\mathcal{N}^\phi}(0))|^{(a,0)} として明示的に計算される。
• 微分可能な等変熱核技法を用いて、熱核トレースの漸近展開が導出され、CMコサイクルがコンネス＝シュルン・キャラクターを表すための条件の検証が可能になる。
• Lemma 8.4 および Theorem 4.22 を用いて、Grassmann変数や S^1-クロッシングを避けて、トランスグレッセッドJLOコサイクルの t=0 での整備性が確立される。
• 本手法は境界設定へも拡張可能であり、境界付き多様体上の b-計量における相対的JLOコサイクルの短時間極限の計算が可能になる。