[論文レビュー] Noncommutative geometry and fundamental interactions

Thomas Krajewski|ArXiv.org|Mar 30, 1999

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 5

ひとこと要約

本博士論文は、非可換幾何学を素粒子物理学および量子場理論に応用し、スペクトル三重項と循環ホモロジーを用いて、3次元および4次元におけるヤン・ミルズおよびチェーン・シモンズ作用の位相的性質を分析する。本研究では、ミンコフスキー時空と有限非可換幾何の積空間上にヤン・ミルズ・ヒッグス模型を構築し、任意次元における非可換トーラス上に古典的および摂動的量子ゲージ理論を発展させ、新たな位相的および対称性構造を明らかにする。

ABSTRACT

This PhD thesis aims at describing the applications of noncommutative geometry to particle physics and quantum field theory. It includes a brief survey of the basic principles and definitions of noncommutative geometry such as spectral triples, differential calculus or gauge theories on projective modules. Within this framework, The index theorem and cyclic homology are applied to the probe of topologically non trivial properties of Chern-Simons and Yang-Mills action functionals in dimension 3 and 4. Following earlier work on the standard model in noncommutative geometry, it also provides a general study of all Yang-Mills-Higgs models based on space-times structures which are the product of usual space-time by a discrete space, with emphasis on the physical properties of the resulting theories. Finally, the last part is devoted to the development of classical and quantum gauge theory on the noncommutative torus in any dimension. It includes a discussion of topological properties and symmetries of the action as well as its perturbative quantization.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学を用いて、量子場理論における基本的相互作用を統一すること。
• 循環ホモロジーとインデックス定理を用いて、ゲージ場汎関数の位相的不変量を調査すること。
• 時空 × 有限非可換空間に基づくヤン・ミルズ・ヒッグス模型の分類と分析を行うこと。
• 任意次元における非可換トーラス上にゲージ理論を構築し、量子化すること。
• 標準模型の枠組みを超えた非可換場理論の物理的および位相的性質を探索すること。

提案手法

• 非可換リーマン幾何学の基礎的枠組みとして、スペクトル三重項を用いる。
• コンネス＝チェーン特徴類と循環ホモロジーを用いて、ゲージ作用汎関数の位相的不変量を計算する。
• 有限次元代数によってパrameter化された、時空 × 有限非可換空間上にヤン・ミルズ・ヒッグス模型を構築する。
• 非可換微分形式と接続を用いて、非可換トーラスをコンpactification多様体として分析する。
• 摂動的量子化技術を非可換トーラス上のゲージ理論に適用し、位相的およびゲージ対称性を保存する。
• インデックス定理を非可換幾何学に適用し、3次元および4次元ゲージ理論におけるスペクトルデータと位相的電荷を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学は、標準模型と重力を幾何学的に統一するのにどのように寄与できるか？
• RQ2 非可換時空間におけるヤン・ミルズおよびチェーン・シモンズ作用の特徴づける位相的不変量は何か？
• RQ3 ミンコフスキー時空と有限非可換幾何の積空間上に構築されたヤン・ミルズ・ヒッグス模型の物理的性質および対称性は何か？
• RQ4 非可換トーラス上のゲージ理論は、可換な類似物と比べて、作用の対称性および位相的性質においてどのように異なるか？
• RQ5 任意次元における非可換トーラス上に定義されたゲージ理論の摂動的量子化構造は何か？

主な発見

• コンネス＝チェーン特徴類と循環ホモロジーは、3次元および4次元非可換幾何におけるヤン・ミルズおよびチェーン・シモンズ作用の厳密な位相的プローブを提供する。
• 時空 × 有限非可換空間上に存在するすべての整合的なヤン・ミルズ・ヒッグス模型は、有限代数と表現の選択によって分類され、物理的スペクトルと相互作用が得られる。
• 非可換トーラスは、非可換微分計算のもとでゲージ不変性と位相的構造を保つ、適切に定義された古典的ゲージ理論を支持する。
• 非可換トーラス上のゲージ理論の摂動的量子化は可能であり、基礎となる位相的およびゲージ対称性を尊重する。
• 非可換幾何学に応用されたインデックス定理は、物理的アノマリーおよびインスタントン数に対応するゲージ汎関数内の位相的電荷を明らかにする。
• この枠組みは、非可換幾何的設定において、標準模型のゲージ群とヒッグス機構を正確に再現でき、ヒッグス項の幾何的起源を示唆する。