[論文レビュー] Topological Quantum Field Theories from Compact Lie Groups

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins+2 more|ArXiv.org|May 6, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリー群から拡張されたトポロジカル量子場理論（TQFT）を構築し、有限群およびトーラスに対する3次元の Chern-Simons 理論に焦点を当てる。長年の未解決問題であった、Chern-Simons 理論が点に割り当てるものとは何かを解消する。理論を異常理論への切断された準同型として解釈し、高階カテゴリカル構造とスカイ・スクラッパー層を用いて、平坦接続および Reidemeister torsion から導かれる明確な不変量を持つ完全に拡張された 0-1-2-3 TQFT を定義する。

ABSTRACT

It is a long-standing question to extend the definition of 3-dimensional Chern-Simons theory to one which associates values to 1-manifolds with boundary and to 0-manifolds. We provide a solution in case the gauge group is a torus. We also develop from different points of view an associated 4-dimensional invertible topological field theory which encodes the anomaly of Chern-Simons. Finite gauge groups are also revisited, and we describe a theory of "finite path integrals" as a general construction for a certain class of finite topological field theories. Topological pure gauge theories in lower dimension are presented as a warm-up.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群に基づく、厳密で完全に拡張された 0-1-2-3 トポロジカル量子場理論としての Chern-Simons 理論を提供すること。
• 特にトーラスゲージ群に対して、Chern-Simons 理論が点に割り当てるものとは何かという長年の未解決問題に答えること。
• Chern-Simons 理論のフレーミング異常を可逆な 4次元 TQFT として解釈し、それを用いて理論を切断された準同型として定義すること。
• Baez-Dolan のコボルディズム仮説の枠組みを拡張し、高階カテゴリカル極限と $G$-不変量を用いて、有限パス積分を一般化すること。
• 理論のモジュラーテンソルカテゴリを、等長的 $K$-理論およびゲージ群のリ Lie 代数上のスカイ・スクラッパー層と結びつけること。

提案手法

• $H^{n+1}(BG;\mathbb{Z})$ の類を用いて、多様体上の古典的ゲージ理論を定義し、場は $G$-バンドルと接続のスタックとして与えられ、$BG$ と同一視される。
• 量子化は、$G$-不変量をとるというカテゴリカル極限として達成され、これは正準量子化におけるガウスの法則を一般化する。
• トーラスゲージ群の場合、理論は自由な $L^2$-Chern-Simons 理論として解釈され、不変量は Reidemeister torsion の平方根とスペクトルフロー位相から構成される。
• 異常は可逆な 4次元 TQFT $\mathscr{A}$ としてモデル化され、3次元多様体 $X$ に対して複素直線 $\mathscr{A}(X)$ を割り当て、Chern-Simons 不変量 $Z(X)$ はこの直線の元である。
• 0次元のデータは、$\mathrm{Sky}^\tau[C]$ のカテゴリであるスカイ・スクラッパー層から構成され、これは $\mathrm{Sky}^\tau[\mathfrak{t}]$ のブレード付きバイモジュールをなし、$\mathrm{Sky}^\tau[\hat{F}]$ を基底とする自由モジュールであることが示される。
• 境界付き曲面への理論の拡張は、シンプレクティックベクトル空間 $S_\Sigma = \Omega^1(\Sigma)/d\Omega^0(\Sigma,\partial\Sigma)$ を用いて行われ、Weyl代数 $W_\tau(S_\Sigma \otimes \mathfrak{t})$ はブレード付きバイ代数として作用し、分割関数 $Z(\Sigma)$ は $\mathfrak{t}^n$ 上の $L^2$-セクションバンドルとして定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特にアーベル的ゲージ群に対して、Chern-Simons 理論が点に割り当てるものは何か？
• RQ2 Chern-Simons 理論のフレーミング異常を完全に拡張された TQFT に体系的に組み込む方法は何か？
• RQ3 カテゴリカルおよび幾何的データを用いて、トーラスに対する $L^2$-Chern-Simons 理論を 0-1-2-3 拡張 TQFT として厳密に構築できるか？
• RQ4 トーラスのリ Lie 代数上のスカイ・スクラッパー層は、拡張 TQFT フレームワークにおいてモジュラーテンソルカテゴリをどのように実現するか？
• RQ5 Verlinde 環、等長的 $K$-理論、および構成で用いられるスカイ・スクラッパー層カテゴリの間の明確な関係は何か？

主な発見

• トーラスゲージ群の場合、Chern-Simons 理論の 0次元不変量は、$\mathrm{Sky}^\tau[C]$ で与えられ、これは $\mathrm{Sky}^\tau[\mathfrak{t}]$ 上の自由モジュールであり、基底は $\mathrm{Sky}^\tau[\hat{F}]$ である。これにより点への割り当てが解消される。
• 異常理論 $\mathscr{A}$ は、可逆な 4次元 TQFT であり、3次元多様体 $X$ に対して複素直線 $\mathscr{A}(X)$ を割り当て、Chern-Simons 不変量 $Z(X)$ はこの直線の元である。
• 閉じた 3次元多様体に対する $L^2$-Chern-Simons 不変量は、平坦接続の空間上の積分として表され、Reidemeister torsion の平方根とスペクトルフロー位相の積に全体の体積因子を乗じたものである。
• 理論の 2次元還元は Verlinde 環によって記述され、これは等長的 $K$-コホモロジーのねじれ型と同一視され、モジュラーテンソルカテゴリの基盤をなす。
• 境界付き曲面 $\Sigma$ に対する分割関数 $Z(\Sigma)$ は、$\mathfrak{t}^n$ 上のベクトルバンドルであり、そのファイバーはホロノミー写像 $p: J_T(\Sigma,\partial\Sigma) \to \mathfrak{t}^n$ 沿いのトーラスラインバンドル $\Theta(\tau)$ の $L^2$-セクションである。
• $Z(\Sigma)$ の $\hat{F}$-成分は、境界の円周における $F$ の作用による重み空間分解によって決定され、これにより基礎となるカテゴリのファッショングループが反映される。