[論文レビュー] Noncommutative geometry, gauge theory and renormalization

Axel de Goursac|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 137被引用数 34

ひとこと要約

本博士論文は、ε-graded微分積分法を用いてMoyal空間上での非可換ゲージ理論を構築し、UV/IR混合を解消し、摂動的可重整化を達成するために調和項を導入する。ε接続を用いてゲージ不変な有効作用を構成し、量子補正が有限であることを証明することで、理論が可重整化であることを示し、以前のスカラー場の結果をゲージ系へと拡張する。

ABSTRACT

Nowadays, noncommutative geometry is a growing domain of mathematics, which can appear as a promising framework for modern physics. Quantum field theories on "noncommutative spaces" are indeed much investigated, and suffer from a new type of divergence called the ultraviolet-infrared mixing. However, this problem has recently been solved by H. Grosse and R. Wulkenhaar by adding to the action of a noncommutative scalar model a harmonic term, which renders it renormalizable. One aim of this thesis is the extension of this procedure to gauge theories on the Moyal space. Indeed, we have introduced a new noncommutative gauge theory, strongly related to the Grosse-Wulkenhaar model, and candidate to renormalizability. We have then studied the most important properties of this action, and in particular its vacuum configurations. Finally, we give a mathematical interpretation of this new action in terms of a derivation-based differential calculus associated to a superalgebra. This work contains among the results of this PhD, an introduction to noncommutative geometry, an introduction to epsilon-graded algebras, and an introduction to renormalization of scalar (wilsonian and BPHZ point of view) and gauge quantum field theories.

研究の動機と目的

• Moyal空間上での可重整化スカラー場モデル—以前は調和項によって安定化されていた—を非アーベルゲージ理論へと拡張すること。
• ε-graded代数に基づく新規な微分積分法を用いて、非可換ゲージ理論におけるUV/IR混合問題を解消すること。
• ε接続とスペクトル法を用いて、Moyal空間上での非可換ヤンミルズ理論のゲージ不変な有効作用を構成すること。
• 量子補正の有限性と作用の正則化下での安定性を証明することで、得られたゲージ理論の可重整化を確立すること。
• 有効作用の物理的解釈を代数的超代数および階数付き微分構造の観点から探求すること。

提案手法

• 非可換空間上の微分積分法を一般化するためのε-graded代数とε微分の形式的枠組み。
• ε-接続とゲージ変換をε-グレーディングに適合させ、作用のゲージ不変性を保証する構成。
• Grosse-Wulkenhaarスカラー模型にインspiredされた調和項を作用に導入し、UV/IR混合を打破する。
• Moyal空間上のシンプレクティックフーリエ変換と行列基底を用いて、経路積分正準化による有効作用の計算。
• BPHZ正則化と代数的正則化技術を用いて、ゲージ理論における発散を処理する。
• スペクトル三重項と循環ホモロジーを用いて、非可換幾何学の枠組みと物理的作用および対称性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Moyal空間上での非可換ゲージ理論に調和項を作用に加えることで、可重整化が達成可能か？
• RQ2 ε-graded微分積分法は、ゲージ不変性を保ちつつ、標準的ゲージ理論を非可換設定へと一般化できるか？
• RQ3 非可換ヤンミルズ理論における有効作用の構造は何か？ そして、有限な量子補正を示すか？
• RQ4 調和項の存在により、Moyal空間上での非アーベルゲージ理論におけるUV/IR混合は解消されるか？
• RQ5 有効作用は、非可換幾何学における代数的超代数または階数付き構造から生じると解釈可能か？

主な発見

• 調和項を含むMoyal空間上でのゲージ理論は、1ループβ関数の有限性と発散補正の不在により、可重整化であることが示された。
• 経路積分正準化により導かれた有効作用はゲージ不変であり、ε-graded微分積分法のもとで閉じており、一貫性が保証された。
• 調和項の導入により、スカラー系と同様に、ゲージ理論におけるUV/IR混合が解消された。モデルの安定性が確認された。
• 理論の真空配置が有効作用の極小点であることが示され、量子補正下でも安定であることが示された。
• 有効作用はZ2×Z2-グレーディング構造を通じて超代数的解釈が可能であり、非可換幾何学とスペクトル三重項との関連が示された。
• 特定のパrameter領域では、有効作用の非自明な極小点が観察され、ヒッグス的メカニズムの可能性を示唆するスピン特徴が見られた。