[論文レビュー] Noncommutative Involutive Bases

Gareth A. Evans|ArXiv.org|Feb 7, 2006

Polynomial and algebraic computation参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非可換多項式環へのグレブナー基底の一般化として、非可換のインボリューション基底を導入し、強、弱、グローバル、ローカルのインボリューション分割を用いた、それらを計算するための新しいアルゴリズムを提示する。主な貢献は、インボリューション還元を介してグレブナー基底を計算する、証明可能に正しいアルゴリズムであり、インボリューション分割の安定性および拡張可能性の性質を導入することで、終了性が保証されている。

ABSTRACT

The theory of Groebner Bases originated in the work of Buchberger and is now considered to be one of the most important and useful areas of symbolic computation. A great deal of effort has been put into improving Buchberger's algorithm for computing a Groebner Basis, and indeed in finding alternative methods of computing Groebner Bases. Two of these methods include the Groebner Walk method and the computation of Involutive Bases. By the mid 1980's, Buchberger's work had been generalised for noncommutative polynomial rings by Bergman and Mora. This thesis provides the corresponding generalisation for Involutive Bases and (to a lesser extent) the Groebner Walk, with the main results being as follows. (1) Algorithms for several new noncommutative involutive divisions are given, including strong; weak; global and local divisions. (2) An algorithm for computing a noncommutative Involutive Basis is given. When used with one of the aforementioned involutive divisions, it is shown that this algorithm returns a noncommutative Groebner Basis on termination. (3) An algorithm for a noncommutative Groebner Walk is given, in the case of conversion between two harmonious monomial orderings. It is shown that this algorithm generalises to give an algorithm for performing a noncommutative Involutive Walk, again in the case of conversion between two harmonious monomial orderings. (4) Two new properties of commutative involutive divisions are introduced (stability and extendibility), respectively ensuring the termination of the Involutive Basis algorithm and the applicability (under certain conditions) of homogeneous methods of computing Involutive Bases.

研究の動機と目的

• インボリューション基底理論を可換から非可換多項式環へ拡張すること。
• さまざまなインボリューション分割を用いた、非可換インボリューション基底を計算するための新しいアルゴリズムの開発。
• 調和的な単項式順序の下で、グレブナー・ウォークとインボリューション・ウォークを非可換設定に一般化すること。
• 非可換設定における終了性および同次的手法の適用可能性を保証する理論的性質（安定性および拡張可能性）を確立すること。

提案手法

• 重ね合わせ条件および乗法的変数に基づき、強、弱、グローバル、ローカルの4つの新しい非可換インボリューション分割を提案。
• これらの分割を用いた非可換インボリューション基底の計算のためのアルゴリズムを開発し、インボリューション還元および延長ステップを含む。
• 非可換グレブナーおよびインボリューション・ウォークにおける順序変換を可能にするために、調和的単項式順序の概念を導入。
• インボリューション基底計算の正しさと終了性を保証するために、連続性および完備性の概念を適用。
• 非可換設定に適応された Buchberger のアルゴリズムの変形版を用い、還元およびS多項式の処理のための基準を導入。
• 再現性を確保するため、ANSI C および AlgLib を用いて実装・テストを行い、付録Bにソースコードを提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インボリューション基底理論は、非可換多項式環へ成功裏に一般化可能か？
• RQ2 非可換設定に適したインボリューション分割の種類は何か？ そして、それらはどのように終了性と正しさを保証するか？
• RQ3 グレブナー・ウォークは非可換環へ拡張可能か？ どのような条件下でインボリューション構造が保存されるか？
• RQ4 非可換インボリューション基底において、終了性および同次的手法の適用可能性を保証するために必要な性質（例：安定性および拡張可能性）は何か？
• RQ5 異なる非可換インボリューション分割は、計算効率および基底サイズの観点でどのように比較できるか？

主な発見

• 提案された非可換インボリューション基底のアルゴリズムは、いずれの新しいインボリューション分割を用いても、終了時に正しくグレブナー基底を計算する。
• 安定性および拡張可能性の導入により、終了性が保証され、非可換設定における同次的手法の使用が可能になる。
• 非可換グレブナー・ウォークアルゴリズムは、2つの調和的単項式順序間の変換に有効であり、可換の場合の一般化である。
• 非可換インボリューション・ウォークアルゴリズムも同様の条件下で有効であり、基底変換中にインボリューション構造を保存する。
• ANSI C および AlgLib を用いた実装は、インボリューション基底および削減済みグレブナー基底を正しく計算でき、アイデアル属在性問題を含むテストケースでその有効性が示された。
• システムは多項式がアイデアルに属するかどうかを正しく特定でき、例えば $ zyx + 1 $ および $ xz^2 + yz^2 - 1 $ が $ \{x+y+z-3, x^2+y^2+z^2-9, x^3+y^3+z^3-24\} $ で生成されるアイデアルに属することを確認できる一方、$ x^{10} $ は属さない。