[論文レビュー] Noncommutative line bundle and Morita equivalence

Branislav Jurčo, Peter Schupp+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、変形量力学に基づくアーベル非可換ゲージ理論における可逆な共変化写像を用いて、非可換な移行関数を有する非可換線束を導入する。結果として得られるスター積 $\.star'$ が元の $\.star$ とモラータ同値であることを、断面の射影的加群と明示的な同値バイモジュールを用いて確立し、非可換幾何学と代数的トポロジーをモラータ同値性を通じて結びつける。

ABSTRACT

Global properties of abelian noncommutative gauge theories based on $\star$-products which are deformation quantizations of arbitrary Poisson structures are studied. The consistency condition for finite noncommutative gauge transformations and its explicit solution in the abelian case are given. It is shown that the local existence of invertible covariantizing maps (which are closely related to the Seiberg-Witten map) leads naturally to the notion of a noncommutative line bundle with noncommutative transition functions. We introduce the space of sections of such a line bundle and explicitly show that it is a projective module. The local covariantizing maps define a new star product $\star'$ which is shown to be Morita equivalent to $\star$.

研究の動機と目的

• 非可換な移行関数を有する非可換線束を用いた非可換ゲージ理論の幾何的定式化を構築すること。
• 変形積 $\star$ に基づくアーベル理論における有限非可換ゲージ変換の整合性を確立すること。
• 局所的な可逆な共変化写像が、元の $\star$ とモラータ同値である新しいスター積 $\star'$ を誘導することを示すこと。
• 非可換線束の断面の空間が非可換代数上での射影的加群をなすことの証明。
• 変形量力学とコンツェビチのフォーマリティ写像を通じて、非可換構造を古典的幾何学と結びつけること。

提案手法

• 一致性条件 $[\Lambda_\alpha[\star], \Lambda_\beta[\star]] + i\delta_\alpha\Lambda_\beta[\star] - i\delta_\beta\Lambda_\alpha[\star] = \Lambda_{[\alpha,\beta]}[\star]$ を用いて、有限非可換ゲージ変換を構成すること。
• ゲージ変換の下で変換する共変化写像 $\mathcal{D}$ を定義し、$\mathcal{D}(f \star' g) = \mathcal{D}f \star \mathcal{D}g$ を用いて新しいスター積 $\star'$ を生成すること。
• 非可換な移行関数 $G_{jk}$ を導入し、それらを用いて射影的加群をなす断面を持つ非可換線束を定義すること。
• 完全射影子 $P$ と行列値関数 $M$ を用いて、同値バイモジュール $\mathcal{E}$ と $\overline{\mathcal{E}}$ を構成し、$\mathfrak{A}^\prime \cong P \star M(A) \star P$ を示すこと。
• コンツェビチのフォーマリティ写像を用いて、$\star$ が多様体 $M$ 上の任意のポisson構造の変形量力学として実現されることを示すこと。
• 明示的なバイモジュール同型写像とピック群の作用を用いて、$\mathfrak{A} = (C^\infty(M)[[\hbar]], \star)$ と $\mathfrak{A}^\prime = (C^\infty(M)[[\hbar]], \star')$ の間のモラータ同値性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル非可換ゲージ理論における有限非可換ゲージ変換は、どのように整合的に定義可能か？
• RQ2 移行関数が非可換であるとき、非可換線束の幾何的構造はどのようなものか？
• RQ3 共変化写像はシーベルグ＝ウィッテン写像とどのように関係し、新しいスター積 $\star'$ をどのように誘導するか？
• RQ4 新しいスター積 $\star'$ が元の $\star$ とモラータ同値であるための条件は何か？
• RQ5 ピック群の作用が変形量力学に与える影響は、非可換代数のモラータ同値性とどのように関係するか？

主な発見

• 有限非可換ゲージ変換の一致性条件はアーベルの場合に明示的に解かれており、理論のゲージ不変性が保証される。
• 可逆な共変化写像の存在は、非可換な移行関数を有する非可換線束の定義へ自然に導く。
• 非可換線束の断面の空間が非可換代数 $\mathfrak{A}$ 上の射影的加群であることが示された。
• 共変化写像によって誘導される新しいスター積 $\star'$ は、明示的な同値バイモジュールの構成により、元の $\star$ とモラータ同値であることが証明された。
• モラータ同値性は完全射影子 $P$ と行列値関数 $M$ を用いて実現され、$\mathfrak{A}^\prime \cong P \star M(A) \star P$ が成り立つ。
• ピック群 $\mbox{Pic}(C^\infty(M))$ の作用がスター積の同値類に与える影響は、モラータ同値性に対応し、同じポisson構造を量力学的に変形する二つのスター積は、この作用によって関係づけられる限り、モラータ同値である。