[論文レビュー] Noncommutative Quantum Mechanics and Geometry from the Quantization of C-spaces

Carlos Castro|ArXiv.org|Jun 19, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多重量子座標を備えたC-空間（クリフォード多様体）における量子化が、恣意的な仮定を必要とせず、自然に非可換量子力学および幾何学を誘導することを提案する。C-空間におけるワイル＝ハイゼンベルク代数を構築することで、時空座標の非可換性が量子化手順そのものから生じることを示し、一般化された不確定性関係および多対称幾何学と量子クリフォード代数を用いた非可換量子場理論の枠組みが得られる。

ABSTRACT

Four years ago the Extended Scale Relativity (ESR) theory in C-spaces (Clifford manifolds) was proposed as the plausible physical foundations of string theory. In such theory the speed of light and the minimum Planck scale are the two universal invariants. All the dimensions of a C-space can be treated on equal footing by implementing the holographic principle associated with a nested family of p-loops of various dimensionalities. This is achieved by using polyvector valued coordinates in C-spaces that encode in one stroke points, lines, areas, volumes,.....We review the derivation of the minimal length/time string/brane uncertainty relations and the maximum Planck temperature thermodynamical uncertainty relation. The Weyl-Heisenberg algebra in C-spaces is constructed which $induces$ a Noncommutative Geometric structure in the $ X^A $ coordinates. Hence quantization in C-spaces involves in a natural fashion a Noncommutative Quantum Mechanics and Field Theory, rather than being postulated ad-hoc. A QFT in C-spaces may very likely involve (Braided Hopf) Quantum Clifford algebras and generalized Moyal-like star products associated with multisymplectic geometry.

研究の動機と目的

• C-空間における第一原理から非可換量子力学および場理論の基礎を確立すること。
• 時空座標の非可換性が、C-空間におけるワイル＝ハイゼンベルク代数から生じることを示し、それを仮定するのではなく誘導すること。
• クリフォード代数と多重量子座標を用いて、すべてのp-ブレーンの運動を統一的な幾何的枠組みで記述すること。
• C-空間の幾何学から、最小長/時間および最大プランク温度を含む一般化された不確定性関係を導出すること。
• 量子クリフォード代数と一般化されたスター積を用いて、C-空間における量子場理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 多重量子座標 $X^A$ を用いて、C-空間におけるワイル＝ハイゼンベルク代数を構築し、点、線、面、および高次元対象を符号化する。
• ワイル＝ハイゼンベルク代数の非自明な交換関係から、通常の位相空間におけるジャコビ恒等式の制約を避ける、$X^A$ 座標の非可換幾何的構造を導出する。
• ホログラフィー原理とネストされたpループ構造を用いて、有効的でエネルギー依存性のあるプランクスケール $\hbar(p^2)$ を定義し、一般化された不確定性関係を導出する。
• ワイル＝ハイゼンベルク代数生成子のノルム二乗を、レッジ型関係を介して角運動量と質量殻条件を組み合わせた有効的 $\hbar_{\text{eff}}$ に結びつける。
• 多対称幾何学を適用し、Moyal型またはザリスキスター積の変形を提案して、C-空間における量子場理論を一般化する。
• C-空間の多重量インヴァリアンスを、$J^{AB}J_{AB}$ を $J/\hbar$ の累乗に結びつける制約によって破壊し、$\hbar_{\text{eff}}(p^2)$ の一般形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C-空間における正準量子化は、非可換性を仮定せず、どのように時空座標の非可換幾何学を生じさせるか？
• RQ2 C-空間の幾何学から導かれる一般化された不確定性関係（最小長、最小時間、最大温度）は何か？
• RQ3 C-空間におけるワイル＝ハイゼンベルク代数は、一貫性のある非可換量子力学の枠組みをどのように生成するか？
• RQ4 量子クリフォード代数およびいびつなホップ代数の構造は、C-空間における量子場理論の構築にどのような役割を果たすか？
• RQ5 ワイル＝ハイゼンベルク代数生成子のノルム二乗と質量殻条件から、有効的プランクスケール $\hbar_{\text{eff}}(p^2)$ をどのように導出できるか？

主な発見

• C-空間におけるワイル＝ハイゼンベルク代数は、$X^A$ 座標に非自明な非可換幾何的構造を誘導し、非可換量子力学が量子化そのものの自然な結果となる。
• 有効的でエネルギー依存性のあるプランクスケール $\hbar(p^2)$ から導かれる一般化された不確定性関係が、最小長/時間および最大プランク温度を含んで自然に生じる。
• ワイル＝ハイゼンベルク代数生成子のノルム二乗から得られる有効的 $\hbar_{\text{eff}}$ は、$p^{2n}$ に比例する項を含み、量子重力の物性論で知られている形と一致する。
• 関係式 $J^{AB}J_{AB} = \sum_n a_n (J/\hbar)^{2n}$ を用いることで、全代数を有効的 $\hbar_{\text{eff}}$ に還元可能であり、$J^{\mu\nu} = p^\mu x^\nu - p^\nu x^\mu$ が成り立つ。
• レッジ型関係 $J \sim \alpha' m^2$ を用いることで、角運動量と質量殻条件を結びつけ、$\hbar_{\text{eff}}(p^2)$ に関する以前の結果と整合性を保つ。
• C-空間における量子化は、追加の離散的第五次元や恣意的な交換関係を必要とせず、プランクスケールが構造的にC-空間の不変量であるため。