[論文レビュー] Noncommutative Quantum Mechanics on a Curved Space

Masayoshi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、射影作用素法（POM）およびディラック括弧による正準化を用いて、高次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲がった部分多様体上での非可換量子力学の枠組みを構築する。導出された可換関係代数は、ℏおよび非可換性パラメータの1次補正を含み、曲がった幾何学が誘導する非自明な非可換性を明らかにする。

ABSTRACT

Starting with the first-order singular Lagrangian, the canonical structures of the noncommutative quantum system on a submanifold embedded in the higher-dimensional Euclidean space are investigated with the projection operator method (POM) and the Dirac-bracket formulation in the case of the derivative-type constraint. Using the successive projection procedure and the iterativity of the Dirac bracket, the noncommutative quantum system is constructed in the form including all orders of the noncommutativity-parameters. When the noncommutative quantum system is constrained to a curved space, the commutator algebra of the system is presented within the 1st-order approximation with respect to Dirac-const. and the noncommutativity-parameters.

研究の動機と目的

• 高次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲がった部分多様体上に制約された系への非可換量子力学の拡張を図ること。
• 制約ハミルトニアン形式を用いて、微分型制約を有する非可換系の正準構造を解明すること。
• ℏおよび非可換性パラメータの1次近似において、可換関係代数およびハミルトニアンを導出すること。
• 曲がりと非可換性が同時に作用する場合、量子代数および力学的ダイナミクスにどのように影響を与えるかを調査すること。

提案手法

• 動的制約を含む1次特異ラグランジアンを定式化し、制約関数G(x)およびその時間微分を含む。
• 非可換構造を保ちつつ、非制約系を制約面に体系的に射影するため、射影作用素法（POM）を適用する。
• 制約を逆行列を用いて取り入れる制約付きポアソン括弧行列Wの逆行列を用いて、一貫性のある量子代数を導出するディラック括弧形式を用いる。
• 座標および運動量の非可換性を記述するため、反対称行列ΘおよびΞを導入し、非可換性構造をG = ΘΞで定義する。
• 反復的ディラック括弧手続きを用いて、非可換性パラメータのすべての次数において量子代数を構築する。
• ℏおよび非可換性パラメータの1次近似において、最終的な可換関係代数およびハミルトニアンを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分型制約を通じて曲がった部分多様体上に制約された量子系において、非可換性はどのように生じるか？
• RQ2 曲がった空間上での非可換量子力学の可換関係代数は、量子補正を含めてどのように構造化されるか？
• RQ3 射影作用素法（POM）とディラック括弧形式が、非可換性と曲がりの両方の下で一貫性を保つ仕組みは何か？
• RQ4 行列Θ、ΞおよびG = ΘΞは、曲がった多様体上での非可換ダイナミクスにどのように寄与するか？
• RQ5 非可換性が存在する状況下で、ディラック括弧による正準化手続きによってハミルトニアンはどのように変換されるか？

主な発見

• 曲がった空間上での非可換量子系の可換関係代数は、ℏおよび非可換性パラメータの両方の1次補正を含み、制約関数G(x)に起因する非自明な修正を示す。
• ディラック括弧代数は、[x^i, x^j]_DB = Θ^*_{ij}を示し、制約構造に起因する座標の非可換性を示す。
• 運動量同士の可換関係 [v_i, v_j]_DB = Ξ^*_{ij} は、運動量の非可換性が幾何的構造によって保存されつつも修正されることを示す。
• 非自明な項 [x^i, p^x_j]_DB = (I - ½G^*)_{ij} - λΘ^*_{ik}G_{kj}(x) は、非可換性とラグランジュ乗数λとの結合を示す。
• ハミルトニアンには非可換性に起因する量子補正項が含まれており、p^x-p^x可換関係にG_{ij}^*, (GΘ)^*, および {G_{ik}(x), G_{jl}(x)} の項が含まれる。
• POMおよびディラック括弧を用いた一貫性のある正準化により、すべての1次量子補正および非可換性補正を含む閉じた代数が得られる。