[論文レビュー] Noncommutative relativistic particle

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|Jul 30, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非可換性パラメータとして動的な反対称テンソル場 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ を導入することにより、明示的にポアンカレ不変性を保つ非可換相対論的粒子を提案する。このモデルは局所的対称性を有し、$\theta^{0i}=0$、$\theta^{ij}=\text{const}$ へのゲージ固定が可能であり、これにより $\{x^\mu,x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ を満たす非可換位相空間が得られる。主な貢献は、ゲージ固定理論において対称性を明示的に実現したポアンカレ不変な非可換相対論的力学の定式化である。

ABSTRACT

Noncommutative version of D-dimensional relativistic particle is proposed. We consider the particle interacting with the configuration space variable $θ^{μν}(τ)$ instead of the numerical matrix. The corresponding Poincare invariant action has a local symmetry, which allows one to impose the gauge $θ^{0i}=0, ~ θ^{ij}=const$. The matrix $θ^{ij}$ turns out to be the noncommutativity parameter of the gauge fixed formulation. Poincare transformations of the gauge fixed formulation are presented in the manifest form.

研究の動機と目的

• D次元における非可換相対論的粒子の明示的ポアンカレ不変な定式化を構築すること。
• 固定された数値的 $\theta^{\mu\nu}$ とローレンツ不変性の矛盾を解消するため、$\theta^{\mu\nu}$ を動的な場 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ に拡張すること。
• 空間的領域における定数非可換性パラメータ $\theta^{ij}$ を得るゲージ固定手順を実装すること。
• ゲージ固定理論におけるポアンカレ変換の明示的形を導出し、その変換がグローバル対称性と局所的対称性の組み合わせとして現れることを示すこと。
• 物理的観測量 $x^\mu$、$p^\mu$ に対して非可換位相空間の整合性を確認するディラック括弧構造を確立すること。

提案手法

• 動的な $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ を含む第一階形式の作用を導入し、明示的ポアンカレ不変性および再パrametrization不変性を保証する。
• 非可換性を生成するため、$\frac{1}{\theta^2}\dot{v}_\mu \theta^{\mu\nu} v_\nu$ のようなチェーン＝シモンズ型項を導入する。
• ハミルトニアン形式において一次的および二次的制約を特定する。これには $G^\mu = p^\mu - v^\mu = 0$、$T^\mu = \pi^\mu - \frac{1}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}v_\nu = 0$、および $v^2 - m^2 = 0$ が含まれる。
• 第二類制約を扱うためにディラック括弧形式を用い、非自明なポアソン括弧 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ を導出する。
• ゲージ固定条件 $\theta^{0i} = 0$、$\theta^{ij} = \text{const}$ を適用し、これは $\theta_{ij}\theta_{ji} \neq 0$ のとき有効であり、ラグランジュ乗数を解く。
• 物理的運動方程式 $\dot{x}^\mu = e p^\mu$、$\dot{p}^\mu = 0$ を導出し、変換されたポアンカレ対称性 $\delta x^\mu = \omega^\mu_\nu x^\nu + \frac{1}{\theta^2} p_\nu \omega^{[\nu}_\rho \theta^{\rho\mu]}$、$\delta p^\mu = \omega^\mu_\nu p^\nu$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換性パラメータが定数でない場合に、ポアンカレ不変性を保つ非可換相対論的粒子をどのように定式化できるか。
• RQ2 動的な $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 場が局所的対称性を維持し、整合的なゲージ固定を可能にする役割は何か。
• RQ3 ゲージ固定理論におけるポアンカレ変換は、グローバル対称性と局所的対称性の組み合わせとしてどのように現れるか。
• RQ4 物理的領域におけるディラック括弧の構造は何か。また、それが非可換代数 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ をどのように導くか。
• RQ5 ゲージ固定理論はポアンカレ不変性を保っているか。保っているならば、その対称性はどのように明示的に実現されているか。

主な発見

• モデルは、固定された数値的 $\theta^{\mu\nu}$ を置き換えるために動的な反対称テンソル場 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ を用いた明示的ポアンカレ不変作用を持つ。
• ゲージ条件 $\theta^{0i} = 0$、$\theta^{ij} = \text{const}$ は有効であり、これにより $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ を満たす非可換位相空間が得られる。ここで $\theta^2 = \theta^{\mu\nu}\theta_{\mu\nu}$ である。
• ゲージ固定理論における物理的運動方程式は $\dot{x}^\mu = e p^\mu$ および $\dot{p}^\mu = 0$ であり、$p^2 - m^2 = 0$ が制約として存在する。
• ゲージ固定理論におけるポアンカレ対称性は、グローバルポアンカレ変換とパrameter $\epsilon^{\mu\nu}(\omega) = \frac{1}{\theta^2}\omega^{[\mu}_\rho \theta^{\rho\nu]}$ を持つ補償的局所変換の組み合わせとして実現され、ゲージ不変性が保たれる。
• ディラック括弧構造は、$x^\mu$ と $p^\mu$ が $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ を満たす整合的な非可換位相空間を形成することを確認する。一方、$\{x^\mu, p^\nu\} = \delta^\mu_\nu$ および $\{p^\mu, p^\nu\} = 0$ である。
• 最終的な理論は、空間的領域における明確に定義された非可換性パラメータ $\theta^{ij}$ を持つ整合的でポアンカレ不変な非可換相対論的粒子理論である。