[論文レビュー] Nonlinear Boundary Output Feedback Stabilization of Reaction Diffusion PDEs.

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ロビン境界条件および境界入力におけるセクターベアド非線形性を有する1次元反応拡散PDEを安定化するための有限次元観測器に基づく出力フィードバック制御則を提案する。時間微分を用いないラプラス直接法を用いて、観測器次元が十分に大きく、非線形性が特定のセクターサイズ内にある場合に閉ループ安定性が達成可能であることを確立する。

ABSTRACT

This paper studies the design of a finite-dimensional output feedback controller for the stabilization of a reaction-diffusion equation in the presence of a sector nonlinearity in the boundary input. Due to the input nonlinearity, classical approaches relying on the transfer of the control from the boundary into the domain with explicit occurrence of the time-derivative of the control cannot be applied. In this context, we first demonstrate using Lyapunov direct method how a finite-dimensional observer-based controller can be designed, without using the time derivative of the boundary input as an auxiliary command, in order to achieve the boundary stabilization of general 1-D reaction-diffusion equations with Robin boundary conditions and a measurement selected as a Dirichlet trace. We extend this approach to the case of a control applying at the boundary through a sector nonlinearity. We show from the derived stability conditions the existence of a size of the sector (in which the nonlinearity is confined) so that the stability of the closed-loop system is achieved when selecting the dimension of the observer large enough.

研究の動機と目的

• 制御入力の時間微分に依存する古典的手法が適用できない境界入力非線形性を有する反応拡散PDEの安定化という課題に対処すること。
• 時間微分を明示的に用いない有限次元観測器を用いた出力フィードバック制御則の開発。
• 境界入力におけるセクターベアド非線形性を有するシステムへの安定化フレームワークの拡張。
• 閉ループ系が安定を保つための条件、特に必要な観測器次元および非線形性の許容セクターサイズを特定すること。

提案手法

• 境界制御入力の時間微分を必要としないラプラス直接法を用いて安定性証明を構築する。
• 境界におけるディリクレトレース測定値からシステム状態を推定する有限次元観測器を設計する。
• セクターノンリニアリティを有する境界に、観測器に基づく状態推定値を統合したフィードバック制御則を適用する。
• 観測器次元と非線形性のセクターサイズを閉ループ安定性に関連付ける十分条件を導出する。
• ロビン境界条件を有する反応拡散PDEの構造を活用し、安定性解析のためのラプラス関数の存在を保証する。
• 観測器次元を増加させることで、非線形性が有界セクター内にあろうとも安定化が可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元観測器に基づく出力フィードバック制御則は、ロビン境界条件および境界入力非線形性を有する1次元反応拡散PDEを安定化できるか？
• RQ2 セクターベアド非線形性が存在する状況でも、制御入力の時間微分に依存せずに安定化が達成可能か？
• RQ3 与えられた非線形性のセクターサイズに対して、システムを安定化させるために必要な最小の観測器次元は何か？
• RQ4 非線形性が含まれるセクターのサイズは、閉ループ系の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 ラプラスに基づく安定性解析が、閉ループ系の原点における漸近的安定性を保証する条件は何か？

主な発見

• 有限次元観測器に基づく出力フィードバック制御則は、ロビン境界条件および境界入力非線形性を有する1次元反応拡散PDEを安定化可能である。
• 制御入力の時間微分を必要としないため、その微分が利用不可または定義不能なシステムへの適用が可能である。
• 観測器次元が非線形性のセクターサイズに対して十分に大きい場合、閉ループ系の安定性が保証される。
• セクターノンリニアリティは特定のサイズに制限され、この境界はラプラス解析から導出された安定性条件によって決定される。
• 閉ループ系にラプラス関数が存在することは、提案された制御則下で原点の漸近的安定性が確認されることを裏付ける。
• 本手法は、ディリクレトレース測定値および境界制御を有する一般の1次元反応拡散方程式へと拡張可能である。