[論文レビュー] "Nonlinear" covariance matrix and portfolio theory for non-Gaussian multivariate distributions

Didier Sornette, P. Simonetti+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非ガウス分布の多次元資産リターンをガウス変数にマッピングする非線形共分散行列を導入し、安定的でファットテイルに敏感な依存度の測度を可能にする。phi-q場理論および大偏差技法を用いて、ポートフォリオ分散の最小化が意図せず大きなリスクを増加させることを示しており、ファットテイル分布におけるリスク予測において、相関よりもテイル構造が重要であることを強調している。

ABSTRACT

This paper offers a precise analytical characterization of the distribution of returns for a portfolio constituted of assets whose returns are described by an arbitrary joint multivariate distribution. In this goal, we introduce a non-linear transformation that maps the returns onto gaussian variables whose covariance matrix provides a new measure of dependence between the non-normal returns, generalizing the covariance matrix into a non-linear fractional covariance matrix. This nonlinear covariance matrix is chiseled to the specific fat tail structure of the underlying marginal distributions, thus ensuring stability and good-conditionning. The portfolio distribution is obtained as the solution of a mapping to a so-called phi-q field theory in particle physics, of which we offer an extensive treatment using Feynman diagrammatic techniques and large deviation theory, that we illustrate in details for multivariate Weibull distributions. The main result of our theory is that minimizing the portfolio variance (i.e. the relatively ``small'' risks) may often increase the large risks, as measured by higher normalized cumulants. Extensive empirical tests are presented on the foreign exchange market that validate satisfactorily the theory. For ``fat tail'' distributions, we show that an adequete prediction of the risks of a portfolio relies much more on the correct description of the tail structure rather than on their correlations.

研究の動機と目的

• 従来の共分散行列が非ガウス的多次元リターン分布におけるテイルリスクを捉えることの限界を解決すること。
• ファットテイルの周辺分布を考慮した、安定的で良好に条件付けられた依存度測度を構築すること。
• 特にphi-q場理論およびフェルマー図技法を用いた場理論的アプローチにより、ポートフォリオリスク分析を再定式化すること。
• 分散の最小化が、重いテイルの設定において、正規化されたモーメントの高次数（正規化されたキュムラント）を増加させることを実証すること。
• 為替市場データを用いた実証的検証を通じて、テイルモデリングによる理論の有効性を検証すること。

提案手法

• 非ガウス的リターンをガウス変数にマッピングする非線形変換を導入し、ファットテイルの周辺分布に適合した「分数的」共分散行列を導出する。
• 統計物理学におけるphi-q場理論へのマッピングを構築し、ポートフォリオリターン分布の解析的取り扱いを可能にする。
• フェルマー図技法および大偏差理論を適用し、ガウス近似を超えるポートフォリオリターン分布の全分布を計算する。
• 形式的体系の有用性と予測力の可視化のため、多次元ワイブル分布を具体的な例として採用する。
• 周辺分布の特定のテイル行動に合わせて非線形共分散行列をキャリブレーションし、数値的安定性と条件数の良さを確保する。
• 為替市場からの実証データを用いて、標準的なガウスベースのポートフォリオリスク測度と比較して、モデルの予測精度を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ガウス的でファットテイルを持つ多次元リターン分布における依存関係を捉えるために、共分散行列をどのように一般化できるか？
• RQ2 非ガウス的設定下で、ポートフォリオ分散の最小化が、大きなテイル駆動リスクを制御できない程度はどの程度か？
• RQ3 phi-q理論のような場理論的技法が、ポートフォリオリターン分布の解析的取り扱いに適したフレームワークを提供できるか？
• RQ4 線形相関係数と比較して、周辺分布のテイル構造が、全体のポートフォリオリスクに与える影響はいかほどか？
• RQ5 明示的にテイル行動をモデリングすることは、相関に基づく分散最小化に依存するのと比較して、より優れたリスク予測をもたらすか？

主な発見

• 非線形分数的共分散行列は、周辺分布のファットテイル構造に明示的に適合されており、数値的安定性と良好な条件数を保証する。
• ポートフォリオ分散の最小化は、高次正規化キュムラントを増加させることがある。これは、小さなリスク最適化がファットテイルの状態において、大きな破綻的リスクを拡大させることを示唆している。
• 為替市場データを用いた実証的検証により、本モデルが従来のガウスベースのアプローチを上回る予測優位性を確認した。
• phi-q場理論フレームワークにより、フェルマー図および大偏差解析を用いて、ポートフォリオリターン分布の正確な全分布が計算可能である。
• ファットテイル分布では、正確な相関推定よりも、テイル行動の適切なモデリングがリスク予測に大きく寄与する。
• 理論により、特に極端な市場状況下では、テイル構造がリスク評価を支配することが示され、古典的マーケット・バリエーション最適化の基礎に疑問を呈している。