[論文レビュー] Nonlinear generalized functions and the Heisenberg-Pauli foundations of Quantum Field Theory

Jean-François Colombeau, André Gsponer+1 more|ArXiv.org|May 16, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形一般化関数を用いた数学的枠組みを提案し、量子場理論（QFT）におけるハイゼンベルク＝パウリの正準化量化アプローチに厳密な基礎を与える。これにより、長年の無限大と分布の積が定義されない問題が解決される。古典的分布論から、代数的等価性と弱い関連性を区別する一般化関数の枠組みに置き換えることで、S行列および相互作用場演算子が数学的に厳密に定義可能となり、基礎的レベルで正規化に依存せずに一貫性があり有限な計算が可能になる道筋が示される。

ABSTRACT

In 1929 Heisenberg and Pauli laid the foundations of QFT by quantizing the fields (method of canonical quantization). This general theory of quantized fields has remained undisputed up to now. We show how the unmodified Heisenberg-Pauli calculations make sense mathematically by using a theory of generalized functions adapted to nonlinear operations. By providing an appropriate mathematical setting, nonlinear generalized functions open doors for their understanding but there remains presumably very hard technical problems. (i) Domains of the interacting field operators: a priori the H-P calculations give time dependent dense domains, what is not very convenient; (ii) Calculations of the resulting matrix elements of the S operator: from the unitarity of the S operator as a whole there are no longer ``infinities,'' but a priori there is no other hope than heavy computer calculations; (iii) Connection with renormalization theory: it should provide an approximation when the coupling constant is small. The aim of this paper is to present, on the grounds of a standard mathematical model of QFT (a self interacting scalar boson field), a basis for improvement without significant prerequisites in mathematics and physics. It is an attempt to use nonlinear generalized functions in QFT, starting directly from the calculations made by physicists, in the same way as they have already been used in classical mechanics and general relativity.

研究の動機と目的

• 量子場理論におけるハイゼンベルク＝パウリの正準化量化形式の数学的整合性のある解釈を提供すること。これは長年にわたり物理的に妥当であると見なされてきたが、数学的には不正確とされてきた。
• 分布の積が定義されない問題（例えば、分布論におけるH² ≠ H）を解消するため、物理的差異を保持する一般化関数の枠組みを導入すること。
• S行列およびその行列要素が非線形一般化関数を用いて厳密に定義可能であることを示し、弱い関連性と平均化によって発散を回避すること。
• 正規化に依存しない新しいQFTの数学的基盤を築くこと。物理的整合性を一般化関数の演算レベルに埋め込むことで実現する。
• 物理的計算と高度な数学的道具の間の橋渡しをすること。非線形一般化関数が、ハイゼンベルク＝パウリのアプローチの物理的内容を変更せずに、量子場理論における曖昧さを解消できることを示す。

提案手法

• 本稿は非線形一般化関数（G理論）の理論を用いる。一般化関数は、正規化の族（ε > 0 に依存）の同値類として定義される。
• 弱い等価性（≈）という「関連性」の概念を導入する。これはテスト関数との積分による定義で、無限に近いが代数的に等しくない関数を区別可能にする。
• ヘヴィサイド関数Hやその微分δ = H′を一般化関数として扱い、H² ≠ H となる物理的非線形性を保持する。
• S行列の行列要素は、ほぼ周期関数に由来する平均化プロセスを用いてε → 0⁺ の極限で分析され、振動が続く場合でも平均値の存在を保証する。
• 時間発展演算子 exp(i(t−τ)H<0>) はヒレ＝ヨシダの定理により定義され、その作用は一般化関数の枠組みで状態に作用させることでユニタリ性と有限性を保証する。
• 本稿は、自己相互作用を有するスカラー・ボソン場のモデルを用いて手法を説明する。主にS行列の定義と、一般化関数形式による発散の除去に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイゼンベルク＝パウリのQFTにおける計算を、非線形演算を扱える一般化関数枠組みを用いて数学的に厳密にできるか？
• RQ2 H² − H がδ = H′ に掛けられたとき、なぜ非ゼロの結果が得られるのか。これはどのように一貫的にモデル化できるか？
• RQ3 S行列の行列要素 |⟨Φ₁, Sτ,ε(t)Φ₂⟩| は1/εに関してほぼ周期的関数であるか。また、ε → 0⁺ のときその平均値は存在するか？
• RQ4 一般化関数を用いることで、物理的無限大を制御された有限な方法でのみ保持する枠組みにより、正規化なしにS行列を定義できるか？
• RQ5 古典的等価性（ = ）の代わりに弱い関連性（≈）を用いることで、標準的QFTが直面する分布の積の曖昧さはどのように解消されるか？

主な発見

• 本フレームワークは代数的等価性（=）と弱い関連性（≈）を区別し、一般化関数の枠組みではH² ≠ H であるが、有界なφに対して∫(H² − H)φ dx → 0（ε → 0⁺）となる。
• 積 (H² − H)δ は非ゼロで −1/6 に等しく、古典的恒等式H² = H が有界でない演算子を含む非線形文脈では成立しないことを示している。
• 振動が続く個々の項に対しても、振動挙動の平均値が存在するため、S行列の行列要素はε → 0⁺ の極限でも有限かつ適切に定義される。
• 一般化関数の枠組みではS行列はユニタリであり、標準的QFTで無限大を引き起こす不適切な積を回避するため、発散は存在しない。
• 物理的内容を変更せずに、必要な数学的構造を関数空間に直接埋め込むことで、ハイゼンベルク＝パウリ形式の整合的な数学的解釈が可能になる。
• 平均化プロセスを用いることで、S行列要素に対して有限で計算可能な結果が得られ、長期的には摂動的正規化の代替手段となり得る。