[論文レビュー] Nonlinear Geometric Optics Based Multiscale Stochastic Galerkin Methods for Highly Oscillatory Transport Equations with Random Inputs

Nicolas Crouseilles, Shi Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、乱数入力を持つ高周波数振動する輸送方程式に対して、一般化されたポリノミアルクラウス（gPC）に基づく確率的ガレルキン（SG）法を提案する。非線形幾何光学（NGO）を活用することで、周波数に依存しない精度を達成する。周波数の高い振動を除去する位相に基づく時間変数を導入することで、メッシュサイズ、時間刻み、多項式クラウス次数に依存しない高周波数振動を解像しないまま、点ごとの解統計を捉えることが可能になる。

ABSTRACT

We develop generalized polynomial chaos (gPC) based stochastic Galerkin (SG) methods for a class of highly oscillatory transport equations that arise in semiclassical modeling of non-adiabatic quantum dynamics. These models contain uncertainties, particularly in coefficients that correspond to the potentials of the molecular system. We first focus on a highly oscillatory scalar model with random uncertainty. Our method is built upon the nonlinear geometrical optics (NGO) based method, developed in \cite{NGO} for numerical approximations of deterministic equations, which can obtain accurate pointwise solution even without numerically resolving spatially and temporally the oscillations. With the random uncertainty, we show that such a method has oscillatory higher order derivatives in the random space, thus requires a frequency dependent discretization in the random space. We modify this method by introducing a new "time" variable based on the phase, which is shown to be non-oscillatory in the random space, based on which we develop a gPC-SG method that can capture oscillations with the frequency-independent time step, mesh size as well as the degree of polynomial chaos. A similar approach is then extended to a semiclassical surface hopping model system with a similar numerical conclusion. Various numerical examples attest that these methods indeed capture accurately the solution statistics {\em pointwisely} even though none of the numerical parameters resolve the high frequencies of the solution.

研究の動機と目的

• 半古典的量子力学的ダイナミクスにおける乱数ポテンシャル入力から生じる高周波数振動する輸送方程式の不確実性伝播を、効率的に計算する課題に対処すること。
• 小波長の解像が必須となるため、標準的なgPC-SG法が振動問題に適用された場合に計算的に非現実的になる問題を克服すること。
• メッシュサイズ、時間刻み、多項式クラウス次数が振動周波数に依存しないままでも、精度を維持する確率的ガレルキン法を開発すること。
• 非線形幾何光学（NGO）フレームワークを確率的設定に拡張し、漸近的保存性と点ごとの解の精度を保証すること。
• ランダムバンドギャップを有するスカラーおよびサーフェスホッピングモデルに対して、本手法の妥当性と有効性を検証し、不確実性評価におけるロバストネスと効率性を示すこと。

提案手法

• 振動をランダム空間から除去する位相に基づく時間変数を導入することで、非線形幾何光学（NGO）フレームワークを確率的問題に適応する。
• ランダム入力を表現するために一般化されたポリノミアルクラウス（gPC）近似を適用し、その後、確率的ガレルキン（SG）射影を用いてランダム-物理空間における決定的PDE系を導出する。
• 位相変数τにおけるフーリエ解析を用いて解を振動的および非振動的成分に分解し、フーリエ空間における後退オイラー法を用いた安定な時間積分を実現する。
• ランダム変数空間におけるスペクトルコロケーションを用いてgPC係数の微分を計算し、振動的成分のシステム行列に組み込む。
• フーリエ空間における行列逆行列計算を用いて、振動的成分の時間陰解法を構築し、εに依存しない安定性を保証する。
• サーフェスホッピングモデルの場合、重み関数π(z)に関するψm(z)ψl(z)の積分を含む行列射影を用いて、ランダムバンドギャップを扱うgPC-SG-Dスキームを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形幾何光学（NGO）法は、ランダム係数を有する確率的高周波数振動輸送方程式へと拡張可能か？
• RQ2 位相に基づく時間変数の導入により、ランダム空間における周波数依存の振動が除去され、周波数に依存しない離散化が可能になるか？
• RQ3 メッシュ、時間刻み、多項式クラウス次数に高周波数振動を解像しないままでも、点ごとの解統計を捉えるgPC-SG法を構築可能か？
• RQ4 スカラー方程式と比較して、ランダムバンドギャップを有する半古典的サーフェスホッピングモデルにおける本手法の性能は？
• RQ5 ランダム不確実性がランダム空間における高次導関数の正則性に与える影響は何か？ また、その影響はどのように軽減可能か？

主な発見

• 振動問題に適用される標準的なgPC-SG法は、波の周波数に依存するgPC次数を必要とし、高周波数領域では計算的に非現実的になる。
• 位相に基づく時間変数の導入により、ランダム空間における依存性が非振動的となり、周波数に依存しないメッシュサイズ、時間刻み、多項式クラウス次数が使用可能になる。
• 提案されたNGOに基づくgPC-SG法は、高周波数振動を数値的に解像しない状態でも、正確な点ごとの解統計を達成する。
• 数値例により、ランダムバンドギャップを有するスカラーおよびサーフェスホッピングモデルの両方において、正しい解統計が正しく捉えられていることが確認された。
• 振動的成分のフーリエ空間における行列逆行列計算は、対称的かつ実固有値構造のおかげで安定かつ可逆であり、数値的ロバストネスを保証する。
• 本手法は漸近的保存性を有し、εのさまざまな値においても精度を維持する。これは、高周波数極限における本手法のロバストネスを示している。