[論文レビュー] Nonlinear Hawkes Processes

Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 82被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、非線形ハーケス過程における中心極限定理およびプロセスレベルの大偏差を確立し、増幅関数と強度関数の成長に基づくレジーム分類（亜線形、亜臨界、臨界、超臨界、爆発的）を導入し、漸近的挙動および破産確率の推定値を導出する。一般条件下でレート関数の明示的変分公式を導出し、古典的結果を非マルコフ型で自己励起的な点過程へと拡張し、リスク理論および確率的モデリングへの応用を含む。

ABSTRACT

The Hawkes process is a simple point process that has long memory, clustering effect, self-exciting property and is in general non-Markovian. The future evolution of a self-exciting point process is influenced by the timing of the past events. There are applications in finance, neuroscience, genome analysis, seismology, sociology, criminology and many other fields. We first survey the known results about the theory and applications of both linear and nonlinear Hawkes processes. Then, we obtain the central limit theorem and process-level, i.e. level-3 large deviations for nonlinear Hawkes processes. The level-1 large deviation principle holds as a result of the contraction principle. We also provide an alternative variational formula for the rate function of the level-1 large deviations in the Markovian case. Next, we drop the usual assumptions on the nonlinear Hawkes process and categorize it into different regimes, i.e. sublinear, sub-critical, critical, super-critical and explosive regimes. We show the different time asymptotics in different regimes and obtain other properties as well. Finally, we study the limit theorems of linear Hawkes processes with random marks.

研究の動機と目的

• 非線形ハーケス過程の理論的理解を、線形でマルコフ型のケースを超えて拡張すること。
• 一般非線形ハーケス過程に対して、中心極限定理およびプロセスレベル（レベル3）の大偏差原理を確立すること。
• 励起関数と強度関数に基づき、非線形ハーケス過程を5つの漸近的レジームに分類すること。
• 亜指数的クレームを有する標識付きハーケスリスク過程に対して、明示的大偏差レート関数および破産確率推定値を導出すること。
• 指数的励起を持つマルコフ型の場合のレート関数に対する変分公式を提示し、最小限の仮定のもとで大偏差原理を証明すること。

提案手法

• マルティンゲールおよび関数極限定理の技法を用いて、非線形ハーケス過程の中心極限定理を導出する。
• 縮小原理を適用し、プロセスレベル（レベル3）の大偏差からレベル1の大偏差原理を導出する。
• 指数的チフトおよび超指数的推定を用いて、レベル3の大偏差に対する下界および上界を確立する。
• 強度関数 λ(z) の成長および励起カーネル h(t) の減衰に基づくレジーム分類を導入する。
• 特殊なクラスの非線形ハーケス過程に対して、近似法を用いて大偏差を導出する。
• 変分法を適用し、陰関数を解くことにより、指数的ケースにおけるレート関数の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 亜線形、臨界、爆発的ケースなどの異なるパrameterレジームにおいて、非線形ハーケス過程の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 中心極限定理および大偏差原理は、非線形で非マルコフ型のハーケス過程へとどのように拡張可能か？
• RQ3 指数的励起を持つマルコフ型の場合のレベル1大偏差におけるレート関数の明示的形は何か？
• RQ4 亜指数的クレームサイズを有する標識付きハーケスクレーム到着を持つリスクモデルにおける破産確率は、どのように振る舞うか？
• RQ5 クレームサイズおよびクレーム到着強度が指数分布に従う場合、無限時間および有限時間の破産確率に対して明示的公式を導出可能か？

主な発見

• 一般条件下で非線形ハーケス過程に対して中心極限定理が成立し、収束先はガウス過程となる。
• 超指数的推定および変分的技法を用いて、プロセスレベルの大偏差原理が確立される。
• マルコフ型の場合に、レート関数の代替的変分公式が導出され、大偏差レートの新たな表現が得られる。
• 爆発的レジームでは、強度プロセスは確率的に有限時間内で発散するが、亜線形レジームではその成長は亜線形的である。
• 亜指数的クレームを有する標識付きハーケスリスク過程に対して、無限時間破産確率は u → ∞ のとき ψ(u) ∼ C · B̄₀(u) を満たし、明示的定数 C が得られる。
• クレームサイズおよび励起カーネルがともに指数分布に従う場合、レート関数 I(x) は対数および平方根項を含む分岐関数として明示的に計算可能である。