[論文レビュー] Nonlinear model reduction on metric spaces. Application to one-dimensional conservative PDEs in Wasserstein spaces

Virginie Ehrlacher, Damiano Lombardi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 73被引用数 38

ひとこと要約

本論文はメトリック空間におけるパラメータ化された偏微分方程式(PDE)の非線形モデル縮約を開発し、特に Wasserstein 空間に焦点を当て、解集合を効率的に近似するためのデータ駆動アプローチを2つ導入する。これらは接空間 PCA（tangent-space PCA）と重心ベース（barycenter-based）のアプローチで、1D 保守性 PDE の解集合を対象とする。

ABSTRACT

We consider the problem of model reduction of parametrized PDEs where the goal is to approximate any function belonging to the set of solutions at a reduced computational cost. For this, the bottom line of most strategies has so far been based on the approximation of the solution set by linear spaces on Hilbert or Banach spaces. This approach can be expected to be successful only when the Kolmogorov width of the set decays fast. While this is the case on certain parabolic or elliptic problems, most transport-dominated problems are expected to present a slow decaying width and require to study nonlinear approximation methods. In this work, we propose to address the reduction problem from the perspective of general metric spaces with a suitably defined notion of distance. We develop and compare two different approaches, one based on barycenters and another one using tangent spaces when the metric space has an additional Riemannian structure. As a consequence of working in metric spaces, both approaches are automatically nonlinear. We give theoretical and numerical evidence of their efficiency to reduce complexity for one-dimensional conservative PDEs where the underlying metric space can be chosen to be the $L^2$-Wasserstein space.

研究の動機と目的

• 輸送支配的問題のため Banach/Hilbert 空間を超えたモデル縮約の動機付け。
• 平行移動やシフトを捉える一般的なメトリック空間での非線形縮約手法を提案する。
• 1D の L2-Wasserstein 空間へ枠組みを特化し、理論的利点を分析する。
• 単純な PDE に関する数値的証拠を提供し、近似特性の改善を示す。

提案手法

• メトリック空間における2つの非線形縮約戦略を導入する。1つは接点に基づく(tPCA)、もう1つは重心( barycenter )を用いる(gBar)。
• Wasserstein 空間上の指数写像/対数写像を用いて、縮約のために解集合を変換する。
• Wasserstein 空間での最適ウェイトを介してスナップショット集合の重心を定義・計算する。
• 解集合を Log_w で変換すると、輸送問題における Kolmogorov 幅の減衰速度が速くなることを示す。
• 変換後にユークリッド空間で縮約を実行するため、(P2(Omega), W2) と (I, ||·||_L2) の等距性を利用する。
• 元の PDE を縮約空間で解くことなく、純粋にデータ駆動型のオンライン段階を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリック空間でのモデル縮約は、輸送支配的なPDEに対して線形法より優れているだろうか？
• RQ2 接空間 PCA および重心ベースの縮約は、Wasserstein 空間において有効な低複雑性表現を提供するだろうか？
• RQ3 対数変換が1D保守 PDE の解集合の Kolmogorov 幅に与える影響はどうなるか？
• RQ4 Burgers、Camassa–Holm、および KdV 型方程式に対するこれらの非線形縮約が計算コストと精度に与える影響は何か？

主な発見

• 純粋な輸送問題では、変換後の幅 d_n(T, L2([0,1])) は n>1 のときゼロになる一方、元の幅 d_n(M, L2(Omega)) は n^-1/2 より速く減衰しない。
• 粘性なし Burgers 方程式の例は、事前の幅減衰挙動を示し、非線形なメトリックベースの縮約が線形法より優れる可能性を示唆する。
• Burgers’, Camassa-Holm, および KdV に関する数値実験は、tPCA および gBar が輸送現象を非常に低いオンラインコストで捉える能力を示し（粘性 Burgers’: ~100x speedup）。
• この枠組みは、縮約空間で元の PDE をオンラインで解くことを避ける純粋にデータ駆動型のオンラインエミュレーションを可能にする。