[論文レビュー] Nonlinear Rayleigh-Taylor Instability for Nonhomogeneous Incompressible Viscous Magnetohydrodynamic Flows

Fei Jiang, Song Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元水平周期的領域における非同次不圧縮性粘性磁力学動力学（MHD）流れに対して、抵抗率がゼロである場合の非線形レイノルズ・ターナー不安定性を確立する。Sobolev空間において線形化問題の増大解を構成し、非線形系の局所的適切性を活用することで、密度、速度、および磁場が小さいかつ垂直方向の磁場の場合に磁場自体に対しても不安定性が生じることを証明した。これは、速度の不安定性が誘導方程式を通じて磁場の不安定性を引き起こす物理的メカニズムを確認するものである。

ABSTRACT

We investigate the nonlinear instability of a smooth Rayleigh-Taylor steady-state solution (including the case of heavier density with increasing height) to the three-dimensional incompressible nonhomogeneous magnetohydrodynamic (MHD) equations of zero resistivity in the presence of a uniform gravitational field. We first analyze the linearized equations around the steady-state solution. Then we construct solutions of the linearized problem that grow in time in the Sobolev space $H^k$, thus leading to the linear instability. With the help of the constructed unstable solutions of the linearized problem and a local well-posedness result of smooth solutions to the original nonlinear problem, we establish the instability of the density, the horizontal and vertical velocities in the nonlinear problem. Moreover, when the steady magnetic field is vertical and small, we prove the instability of the magnetic field. This verifies the physical phenomenon: instability of the velocity leads to the instability of the magnetic field through the induction equation.

研究の動機と目的

• 3次元非同次不圧縮性粘性MHD流れにおいて抵抗率がゼロである場合の滑らかなレイノルズ・ターナー定常解の非線形不安定性を調査すること。
• 定常解の周囲で線形化された方程式を解析し、Sobolev空間で時間とともに増大する不安定な解を構成すること。
• 滑らかな解の局所的適切性を用いて、線形不安定性の結果を完全非線形問題へ拡張すること。
• 速度の不安定性が誘導方程式を通じて磁場の不安定性を引き起こす物理的メカニズムを検証すること、特に磁場が小さく垂直方向である場合に焦点を当てる。

提案手法

• 密度の高さに伴い増加する密度プロファイルを含む定常解の周囲で、抵抗率がゼロである3次元非同次不圧縮性MHD方程式を線形化する。
• Sobolev空間 $H^k$ で時間とともに増大する線形化問題の解を構成し、線形不安定性を確立する。
• 元の非線形問題の局所的適切性結果を用いて、線形から非線形領域への不安定性の伝播を実現する。
• グロワールの不等式とエネルギー推定を適用して、密度、速度、磁場の摂動の時間発展を制御する。
• 誘導方程式を解析し、定常磁場が小さく垂直方向である場合に、速度の不安定性が磁場の不安定性を引き起こすことを示す。
• 構築された不安定な解が、完全非線形系および速度と磁場の発散なし制約を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抵抗率がゼロである非同次不圧縮性粘性MHD流れにおいて、レイノルズ・ターナー不安定性は非線形領域でも持続するか？
• RQ2 線形化MHD系の不安定解を用いて、完全非線形問題の不安定解を構成できるか？
• RQ3 定常磁場の存在が、速度成分および磁場成分の不安定性にどのように影響するか？
• RQ4 誘導方程式は、速度から磁場への不安定性の伝達に果たす役割は何か？
• RQ5 どのような条件下で、速度駆動の不安定性によって磁場が不安定化するか？

主な発見

• 本稿は、線形化MHD方程式の解が $H^k$ Sobolev空間で時間とともに増大することを証明し、レイノルズ・ターナー問題における線形不安定性を確認した。
• 構築された不安定な線形解と局所的適切性を用いて、完全非線形MHD系における密度、水平および垂直速度の非線形不安定性が確立された。
• 定常磁場が小さく垂直方向である場合、磁場に対しても不安定性が生じることを示し、誘導方程式による不安定性伝播の物理的メカニズムを検証した。
• 速度場の不安定性が、磁気拡散率が存在しない状況においても、誘導方程式が予測するように、磁場の不安定性を直接引き起こす。
• 滑らかで定数でない密度プロファイルが満たす $\bar{\rho}'(x_3^0) > 0$ を満たすある点において、3次元水平周期的領域で解析が行われ、古典的RT不安定性が可能となった。