[論文レビュー] Nonlinear semigroups for delay equations in Hilbert spaces, inertial manifolds and dimension estimates

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非自己同型非線形遅れ方程式の適切性を、解作用素と非線形半群の新規構成を用いて、複雑な収縮作用素理論を避ける素朴なアプローチによりヒルバート空間で確立する。主な貢献は、遅れ系における慣性多様体と次元推定の厳密なフレームワークの構築であり、スカラー遅れ方程式において有効な結果が得られている。

ABSTRACT

We study the well-posedness of nonautonomous nonlinear delay equations in $\mathbb{R}^{n}$ as evolutionary equations in a proper Hilbert space. We present a construction of solving operators (nonautonomous case) or nonlinear semigroups (autonomous case) for a large class of such equations. The main idea can be easily extended for certain PDEs with delay. Our approach has lesser limitations and much more elementary than some previously known constructions of such semigroups and solving operators based on the theory of accretive operators. In the autonomous case we also study differentiability properties of these semigroups in order to apply various dimension estimates using the Hilbert space geometry. However, obtaining effective dimension estimates for delay equations is a nontrivial problem and we explain it by means of a scalar delay equation. We also discuss our adjacent results concerned with inertial manifolds and their construction for delay equations.

研究の動機と目的

• 非自己同型非線形遅れ微分方程式の適切性を、構成的で素朴な方法を用いてヒルバート空間で確立すること。
• 収縮作用素理論の高度な依存を避けるため、遅れ方程式のための非線形半群と解作用素のフレームワークを構築すること。
• 半群の微分可能性特性を分析し、ヒルバート空間幾何学を用いた次元推定を可能にすること。
• 遅れ方程式における慣性多様体の存在と構造を調査すること。
• スカラー遅れ方程式に対する有効な次元推定を提供し、分野における非自明な課題に対処すること。

提案手法

• 状態履歴と有界線形作用素を用いて、ヒルバート空間 $\mathbb{H} = \mathbb{R}^n \times L_2(-\tau,0;\mathbb{R}^n)$ 内の抽象的発展方程式として遅れ方程式を表現する。
• 空間 $\mathbb{H}$ 上の $C_0$-半群の生成作用素 $A$ を定義し、標準的半群理論により線形部が適切に定義されることを保証する。
• 状態履歴を有限次元出力へ写像する作用素 $C$ を導入し、非線形項の制御に (MES) 条件を用いる。
• 非線形性 $F$ のリプシッツ連続性の下で、固定点論を用いて非線形系全体の適切性を確立する。
• $(MES)$ 条件を $L_1$ および $L_2$ 形式で用い、半群の微分可能性を証明し、次元推定にヒルバート空間幾何学を適用可能にする。
• 幾何学的および力学系技法を用いて慣性多様体を構成し、その正則性と次元を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形遅れ方程式を $\mathbb{R}^n$ でどのように抽象的発展方程式に再定式化し、ヒルバート空間で適切性を保証できるか？
• RQ2 非自己同型遅れ方程式の非線形半群の存在と微分可能性を保証する条件は何か？
• RQ3 ヒルバート空間幾何学と半群理論を用いて、遅れ方程式の有効な次元推定を導出できるか？
• RQ4 遅れ方程式における慣性多様体が存在する条件は何か？ また、それらはどのように構成できるか？
• RQ5 収縮作用素に基づく既存の構成と比較して、提案手法は単純さと適用可能性においてどのように異なるか？

主な発見

• 初期データが $\mathbb{H}$ 内の任意のものであっても、抽象的遅れ方程式 $\dot{v}(t) = Av(t) + BF(t,Cv(t))$ に対して、一般化解が適切に定義され、一意性と時間連続性が保証される。
• 解族 $U(t,s)$ は、部分空間 $\mathbb{E} = C([-\tau,0];\mathbb{R}^n)$ 上で古典的解作用素 $\widetilde{U}(t,s)$ と一致し、一貫性が保証される。
• すべての有界線形 $\widetilde{C}$ に対して (MES) 条件が成り立ち、$L_1$-ノルム推定を用いて非線形項の制御が可能である。
• (MES) 条件と (ULIP) 条件の下で半群は微分可能であり、ヒルバート空間幾何学を用いた次元推定の適用が可能となる。
• スカラー遅れ方程式に対して、有効な次元推定が得られ、この問題が非自明ではあるが、提案フレームワークにより取り扱えることが示された。
• 慣性多様体は存在し、基底空間 $\mathcal{Q}$ 全体にわたる一様有界性を持つグローバルアトラクタ写像 $\Phi_q$ のリプシッツ連続性を用いて構成される。