[論文レビュー] Nonlinearity of some subgroups of the planar Cremona group

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の高さの冪零群を埋め込むことにより、複素平面クレモナ群の、有限生成で、任意の体上で非線形な3-可解部分群を構成する。主な結果は、このような部分群—特に増大する冪零群 Γₙ の合併—は、忠実な線形表現をもたないということであり、これにより、任意の体上での自己同型群 Aut(ℂ²) およびクレモナ群の非線形性が証明される。

ABSTRACT

We give some examples of non-nilpotent locally nilpotent, and hence nonlinear subgroups of the planar Cremona group.

研究の動機と目的

• 平面クレモナ群 Cr₂(ℂ) の有限生成で非線形な部分群を構成すること。
• Cr₂(K) のある種の局所冪零部分群が、特に関数体の特徴が0であっても、任意の体上で線形でないことを示すこと。
• サーベウとデゼルティの結果を拡張し、全クレモナ群が任意の体上で非自明な有限次元線形表現を持たないことを示すこと。
• 自己同型群 Aut(ℂ²) の表現論を調査し、それが任意の体上で線形でないことを示すこと。

提案手法

• s₁ が x を 1 だけシフトし、α_f が y に f(x) を加えることとして、Cr₂(ℂ) 内の s₁ と α_Xⁿ で生成される部分群 Γₙ の族を構成する。
• 反復交換子 [s₁, [s₁, ..., [s₁, α_Xⁿ]...]] = α_ΔⁿXⁿ を用いて、特徴が0のとき Γₙ がクラスちょうど n+1 の冪零群であることを証明する。
• Γ_∞ = ⋃Γₙ が局所冪零であり、かつ任意の冪零長を持つ冪零部分群を含むことを示す。
• 任意の線形表現において、有界なクラスを持たない冪零群は GL_d(F) に埋め込めないという事実を用い、矛盾を導く。
• ジョンクィエール部分群の構造と共役関係を用いて、群演算を制御する。
• Birkhoff の補題を適用し、すべての Γₙ を含む部分群 G ⊂ Cr₂(ℂ) の表現は自明であることを示し、非線形性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cr₂(ℂ) の有限生成部分群で、任意の体上で線形でないもの是否存在するか？
• RQ2 Cr₂(K) の局所冪零部分群が、その有限生成部分群の冪零長が無限大に達する可能性はあるか？
• RQ3 自己同型群 Aut(ℂ²) は任意の体上で線形か？
• RQ4 平面クレモナ群 Cr₂(K) は任意の体上で非自明な有限次元線形表現を持つか？
• RQ5 特徴が0のとき、Aut(ℂ²) の有限生成部分群が忠実な線形表現を持たないことはあり得るか？

主な発見

• s₁、α₁、μ_X で生成される G ⊂ Cr₂(ℚ) は3-可解であり、任意の体上で線形でない。
• char(K) = 0 のとき、Cr₂(ℂ) 内の部分群 Γₙ はクラスちょうど n+1 の冪零群であり、n が増加するにつれてその冪零長は無限大に発散する。
• Γ_∞ = ⋃Γₙ は局所冪零であるが、任意の体上で線形でない。なぜなら、任意の大きなクラスを持つ冪零部分群を含むからである。
• 全自己同型群 Aut(ℂ²) は任意の体上で線形でない。なぜなら Γ_∞ を含むからである。
• 平面クレモナ群 Cr₂(K) は任意の体上で非自明な有限次元線形表現を持たない。これはサーベウとデゼルティの結果を拡張する。
• Cr₂(K) の任意の線形表現は自明である。なぜなら、それは単純群 PGL₃(K) を通して因数分解され、非自明に作用するが、有界な d に対して GL_d(F) に忠実に表現することはできないからである。