[論文レビュー] Nonlocal Schrödinger-Kirchhoff equations with external magnetic field

Mingqi Xiang, Patrizia Pucci+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて外部磁場ポテンシャルを含む非局所的分数階シュレーディンガー＝キルホッフ方程式の解の存在および多重性を確立する。マウンテンパス定理、ネハリ法、対称的マウンテンパス定理を適用することで、非線形性が超線形および亜線形の場合の最小エネルギー解の存在を証明し、一般の非線形性条件下で超線形－亜線形の場合に無限個の解が存在することを示す。

ABSTRACT

The paper deals with existence and multiplicity of solutions of the fractional Schrödinger--Kirchhoff equation involving an external magnetic potential. As a consequence, the results can be applied to the special case \begin{equation*} (a+b[u]_{s,A}^{2θ-2})(-Δ)_A^su+V(x)u=f(x,|u|)u\,\, \quad ext{in $\mathbb{R}^N$}, \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $N>2s$, $a\in \mathbb{R}^+_0$, $b\in \mathbb{R}^+_0$, $θ\in[1,N/(N-2s))$, $A:\mathbb{R}^N ightarrow\mathbb{R}^N$ is a magnetic potential, $V:\mathbb{R}^N ightarrow \mathbb{R}^+$ is an electric potential, $(-Δ)_A^s$ is the fractional magnetic operator. In the super- and sub-linear cases, the existence of least energy solutions for the above problem is obtained by the mountain pass theorem, combined with the Nehari method, and by the direct methods respectively. In the superlinear-sublinear case, the existence of infinitely many solutions is investigated by the symmetric mountain pass theorem.

研究の動機と目的

• 外部磁場ポテンシャルを含む非局所的分数階シュレーディンガー＝キルホッフ方程式の解の存在および多重性を調査すること。
• 一般のキルホッフ関数および非線形性を想定した分数階磁場設定への変分法の拡張。
• マウンテンパス定理およびネハリ法を用いて、超線形および亜線形の場合の最小エネルギー解の存在を確立すること。
• 対称的マウンテンパス定理を用いて、超線形－亜線形の場合に無限個の解が存在することを証明すること。
• 磁場付き分数階ソボレフ空間における関連エネルギー汎関数の (PS) 条件の検証。

提案手法

• 磁場ポテンシャル $A$ を含む積分作用素を用いて定義される非局所的積分作用素による磁場作用素 $(-\Delta)_A^s$ を用いた分数階シュレーディンガー＝キルホッフ方程式として問題を定式化する。
• 重み付き磁場付き分数階ソボレフ空間 $H_{A,V}^{s}(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$ 上にエネルギー汎関数 $\mathcal{I}(u)$ を定義し、ガリャルド半ノルムとポテンシャル $V$ を含むノルムを用いる。
• 超線形の場合の最小エネルギー解の存在を証明するためにマウンテンパス定理を適用する。
• 超線形の場合のグランドステート解を特定するためにネハリ法を用いる。
• 亜線形の場合には変分法の直接法を用いて最小エネルギー解を取得する。
• 超線形－亜線形の場合に無限個の解が存在することを証明するために、対称的マウンテンパス定理を用い、ジャンル理論およびコンパクト性の議論を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部磁場を伴う分数階シュレーディンガー＝キルホッフ方程式が、少なくとも1つの非自明な解をもつための条件は何か？
• RQ2 非線形性の成長が超線形および亜線形の両領域において、最小エネルギー解の存在をどのように確立できるか？
• RQ3 キルホッフ関数 $M$ および非線形性 $f$ にどのような条件を課せば、無限個の解が存在するか？
• RQ4 磁場ポテンシャルの存在が、関連エネルギー汎関数の変分構造およびコンパクト性にどのように影響するか？
• RQ5 磁場付き分数階ソボレフ空間におけるエネルギー汎関数に対して、(PS) 条件が満たされるか、Palais-Smale 列の収束を保証するか？

主な発見

• マウンテンパス定理およびネハリ法を用いて、超線形の場合に少なくとも1つの最小エネルギー解が存在することが確立された。
• 亜線形の場合には、変分法の直接法を用いて最小エネルギー解が得られた。
• 超線形－亜線形の場合には、対称的マウンテンパス定理により、幾何的に異なる無限個の解が得られた。
• エネルギー汎関数は $H_{A,V}^{s}(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$ で (PS) 条件を満たし、Palais-Smale 列の収束が保証された。
• $M$, $f$, $V$, $A$ に対して一般な仮定が成り立ち、$M(0) = 0$ の退化した場合を含む。
• 証明は、ブレジス＝リーブの補題および $L^2$ および $L^p$ 空間におけるノルム収束を用いて、弱収束列における極限を取る際に有効に機能する。