[論文レビュー] Nonlocal symmetries of Lax integrable equations: a comparative study

H. Baran, I. S. Krasil’shchik+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、スペクトルパラメータにおけるLax対の展開を用いた無限次元微分被覆の構成により、4つのLax可積分3次元偏微分方程式（rdDym、3D Pavlov、ユニバーサル階層、修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式）の非局所対称性を調査する。すべての4つの方程式が、半直積としてのウィット代数、直線上のベクトル場、ループ代数からなる同型なリー代数構造を持つことが明らかになった。ただし、修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式はスケーリング対称性の欠如により、非次数構造を示す点で特異である。

ABSTRACT

We continue here the study of Lax integrable equations. We consider four three-dimensional equations: (1) the rdDym equation $u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}$, (2) the 3D Pavlov equation $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$; (3) the universal hierarchy equation $u_{yy} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}$, and (4) the modified Veronese web equation $u_{ty} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}$. For each equation, using the know Lax pairs and expanding the latter in formal series in spectral parameter, we construct two infinite-dimensional differential coverings and give a full description of nonlocal symmetry algebras associated to these coverings. For all the for pairs of coverings, the obtained Lie algebras of symmetries manifest similar (but not the same) structures: the are (semi) direct sums of the Witt algebra, the algebra of vector fields on the line, and loop algebras; all of them contain a component of finite grading. We also discuss actions of recursion operators on shadows (in the sense of [I.S.Krasil'shchik, A.M. Vinogradov, Acta Appl. Math., 15 (1989) 1-2, 161--209.]) of nonlocal symmetries.

研究の動機と目的

• Lax対から導かれる微分被覆を用いて、4つのLax可積分3次元PDEの非局所対称性代数を体系的に分析すること。
• 形式が異なるにもかかわらず、これらの方程式が非局所対称性代数において共通の構造的特徴を有するかどうかを特定すること。
• 再帰作用素とスケーリング対称性が、非局所対称性代数の次数構造およびその構造に与える影響を調査すること。
• 特に修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式に対して、Bäcklund自己変換が存在するかを調査すること。
• 非局所対称性の構成に顕著に現れる演算子 $\mathcal{Y}$ の不変幾何的意味を明確化すること。

提案手法

• スペクトルパラメータに関する形式ローラン級数展開を用いて、各方程式に対して2つの無限次元微分被覆を構成する。
• 被覆形式論を用いて、非局所対称性の完全なリー代数を導出し、そのシャドウと代数的構造に注目する。
• 再帰作用素が非局所対称性のシャドウに作用する様子を分析することで、対称性の生成と閉包性を理解する。
• 非局所対称性代数を、ウィット代数 $\mathfrak{W}$、$\mathbb{R}^1$ 上のベクトル場代数 $\mathfrak{V}[\rho]$、ループ代数 $\mathfrak{L}[\rho]$ の半直積として特定・分類する。
• ジェットソフトウェアを用いて、ジェット延長、対称性、および交換関係の記号的計算を行う。
• 方程式間での非局所対称性代数を比較し、特に修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式における次数構造と成分構造の違いに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 rdDym、3D Pavlov、ユニバーサル階層、修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式という4つのLax可積分3次元方程式は、形式が異なるにもかかわらず、同型な非局所対称性代数を有するか？
• RQ2 スケーリング対称性の有無が、非局所対称性代数の次数構造およびその構造に与える影響は何か？
• RQ3 再帰作用素は、これらの被覆における非局所対称性のシャドウにどのように作用し、対称性の生成に寄与するか？
• RQ4 修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式に対して、Bäcklund自己変換を構成できるか。また、他の方程式とどのように関係するか？
• RQ5 非局所対称性の構成に登場する演算子 $\mathcal{Y}$ の背後にある幾何的または代数的不変量は何か？

主な発見

• すべての4つの方程式が、ウィット代数 $\mathfrak{W}$、$\mathbb{R}^1$ 上のベクトル場代数 $\mathfrak{V}[\rho]$、ループ代数 $\mathfrak{L}[\rho]$ の半直積としての非局所対称性代数を有する。
• rdDym、3D Pavlov、ユニバーサル階層方程式の非局所対称性代数は、スケーリング対称性のおかげで次数構造を持つが、修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式の代数はこれに欠ける。
• 修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式の非局所対称性代数には、他の方程式とは異なり $\mathfrak{V}[t]$ 成分が追加されており、特徴的である。
• 再帰作用素は、非局所対称性のシャドウに非自明に作用し、すべての式において代数的構造を保存する。
• 変数変換 $x \leftrightarrow y$ を用いて、修正ヴェロネーゼ・ウェブ方程式に対してBäcklund自己変換が構成され、それにより自身のLax系と関連づけられる。
• 構造的差異は存在するが、4つのすべての式が深い可積分性の特徴を共有している：除去不能なパラメータを有するLax対、線形退化性、および互いにBäcklund関係を有する。