[論文レビュー] Recursion Operators and Nonlocal Symmetries for Integrable rmdKP and rdDym Equations

Oleg I. Morozov|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、除去不能パラメータを有する線形被覆に基づく幾何的手法を用いて、可積分な rmdKP および rdDym 方程式の直接的・逆の再帰作用素を構築する。これらの作用素が無限次元の対称性階層を生成することを示し、保存則を介して非局所的対称性のシャドウを明示的に計算することで、これらの方程式における非局所的対称性の代数的構造を明らかにする。

ABSTRACT

We find direct and inverse recursion operators for integrable cases of the rmdKP and rdDym equations. Also, we study actions of these operators on the contact symmetries and find shadows of nonlocal symmetries of these equations.

研究の動機と目的

• 線形被覆に基づく幾何的アプローチを用いて、可積分な rmdKP および rdDym 方程式の直接的および逆の再帰作用素を導出すること。
• これらの再帰作用素が方程式の接触的対称性代数上に及ぼす作用を研究すること。
• 除去不能パラメータを有する微分被覆から生じる非局所的対称性のシャドウを計算すること。
• 再帰作用素の作用と保存則を用いて、非局所的対称性の代数的構造を明らかにすること。
• 文献[30]の手法の適用範囲を、非自明な被覆を有する (2+1) 次元可積分偏微分方程式へ拡張すること。

提案手法

• 除去不能パラメータを有する rmdKP および rdDym 方程式の線形被覆から、文献[30]の手法を用いて再帰作用素を構築する。
• 接続（線形化）された被覆の自己-Bäcklund 変換の概念を用いて、非局所的かつ積分微分作用素として再帰作用素を定義する。
• 変換の自己-Bäcklund 変換の概念を用いて、非局所的かつ積分微分作用素として再帰作用素を定義する。
• 変換の自己-Bäcklund 変換の概念を用いて、非局所的かつ積分微分作用素として再帰作用素を定義する。
• ジェット空間上での対称性の作用を記述するために、進化的ベクトル場と全微分を用いる。
• ジェット座標と保存則を含む決定方程式系を解くことで、再帰作用素およびその逆作用素の明示的公式を導出する。
• 保存則から導かれるポテンシャル系を解くことにより、非局所的対称性のシャドウを特定する。
• 対称性代数の次数付き構造とリー括弧関係を用いて、非局所的対称性の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 除去不能パラメータを有する線形被覆を用いて、rmdKP や rdDym のような (2+1) 次元可積分偏微分方程式に対する再帰作用素を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 再帰作用素は rmdKP および rdDym 方程式の接触的対称性代数上でどのように作用するか？
• RQ3 再帰作用素の作用から生じる非局所的対称性は何か？ それらはどのようにシャドウとして実現されるか？
• RQ4 保存則と微分被覆は、非局所的対称性のシャドウの構築にどのように寄与するか？
• RQ5 再帰作用素によって生成される非局所的対称性の空間の代数的構造は何か？

主な発見

• rmdKP および rdDym 方程式の直接的および逆の再帰作用素は、除去不能パラメータを有する線形被覆に基づき、文献[30]の手法を用いて明示的に構築された。
• 再帰作用素は接触的対称性に作用し、対称性の生成子を高次の対称性へ写像する。φ₁(A₁)、φ₂(A₂)、φ₃(B₁) に対する明示的公式が提示された。
• 非局所的対称性のシャドウは、ポテンシャル系の解として計算された：φ₀(A₀) に対応する s₀ と、φ₄ に対応する s₄ であり、両者とも保存則に対応する。
• 逆再帰作用素は、φ₁(A₁) を φ₀(A₁) + λφ₁(A₁) に、φ₂(A₂) を φ₁(A₂) に、φ₃(B₁) を λφ₃(B₁) に写像する。これにより非局所的構造が明らかになった。
• 再帰作用素は φ₀(A₀) を φ₁(A₀) − λφ₂(A₀) に写像し、φ₄ を新たな非局所的対称性を定義する系の解に写像する。
• 非局所的対称性の代数的構造はリー括弧に関して閉じており、∑g と h は次数付き代数をなし、∑g ⊕ h は全対称性代数をなす。