[論文レビュー] Nonparametric adaptive estimation of order 1 Sobol indices in stochastic models, with an application to Epidemiology

Viet Chi Tran, Gwénaëlle Castellan+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ワーペッドウェーブレットを用いて、メタモデルを必要としない確率的モデルにおける1次ソボルインデックスの非パラメトリックな適応推定器を提案する。この手法は、モデルの滑らかさに依存する最適な収束速度を達成し、サンプルサイズが増加するに従い平均二乗誤差に「エルボー効果」が現れる。疫学的疫病伝播モデルとして、ヘパチティスCウイルス（HCV）の感染伝播に応用されている。

ABSTRACT

Global sensitivity analysis is a set of methods aiming at quantifying the contribution of an uncertain input parameter of the model (or combination of parameters) on the variability of the response. We consider here the estimation of the Sobol indices of order 1 which are commonly-used indicators based on a decomposition of the output's variance. In a deterministic framework, when the same inputs always give the same outputs, these indices are usually estimated by replicated simulations of the model. In a stochastic framework, when the response given a set of input parameters is not unique due to randomness in the model, metamodels are often used to approximate the mean and dispersion of the response by deterministic functions. We propose a new non-parametric estimator without the need of defining a metamodel to estimate the Sobol indices of order 1. The estimator is based on warped wavelets and is adaptive in the regularity of the model. The convergence of the mean square error to zero, when the number of simulations of the model tend to infinity, is computed and an elbow effect is shown, depending on the regularity of the model. Applications in Epidemiology are carried to illustrate the use of non-parametric estimators.

研究の動機と目的

• 出力のばらつきが内部のランダムネスに起因する確率的モデルにおける1次ソボルインデックスの非パラメトリックで適応的な推定器の開発を目的とする。
• 確率的応答の平均および分散を推定する際にメタモデルに依存しないようにすることを目的とする。
• 未知の条件付き期待値関数の滑らかさに適応する推定器の収束速度を確立することを目的とする。
• パラメトリックなSIRモデルを用いて、注射薬使用者（PWID）におけるヘパチティスC感染伝播のモデルに応用することで、本手法の効率性と頑健性を示すこと。

提案手法

• 1次ソボルインデックスの計算に不可欠な条件付き期待値 E[Y|Xℓ] を非パラメトリックに推定するために、ワーペッドウェーブレット展開を用いる。
• 関数 hℓ(xℓ) = E[Y|Xℓ] の未知の滑らかさに適応するため、ペナルティ付き経験リスク最小化に基づくモデル選択手順を採用する。
• 波形係数推定におけるバイアスとバリアンスのバランスをとるために、データ駆動型のペナルティ項 pen(J) を適用する。
• 誤差を近似誤差、推定誤差、モデル選択誤差の3つの成分に分解することで、推定器の平均二乗誤差の収束速度を導出する。
• ベルンシュタイン型不等式を用いて、経験的波形係数と真の値との乖離を制御する。
• 推定器が関数 hℓ の滑らかさに適応し、対数因子を除いて最適な収束速度を達成することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メタモデルを必要とせずに、確率的モデルにおける1次ソボルインデックスの非パラメトリックで適応的な推定器を開発できるか？
• RQ2 提案された推定器の収束速度は、未知の関数 hℓ(xℓ) = E[Y|Xℓ] の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ3 未知の滑らかさに適応し、サンプルサイズ n に対して最適な収束速度を達成できるか？
• RQ4 モデル選択の影響は推定器の性能にどのように現れ、ペナルティ項はどのようにキャリブレーションされるか？
• RQ5 計算コストと精度の観点から、従来の手法と比較して本手法は確率的設定においてどのように優れているか？

主な発見

• 滑らかさの条件下で、推定器の平均二乗誤差は O(log²(n)/n³/²) のオーダーに達し、条件付き期待値関数の未知の滑らかさに適応する収束速度を実現する。
• 収束速度に「エルボー効果」が観察される：関数 hℓ が Hölder 球 B(α, 2, ∞) に属する場合、最適な収束速度は n⁻⁸ᵃ⁄⁽⁴ᵃ⁺¹⁾ となり、α が増加するに従い、n⁻¹ からより速い速度へと移行する。
• 推定器の性能はモデルの滑らかさに適応し、滑らかさの事前知識がなくても、対数因子を除いて最適な収束速度を達成する。
• 古典的なモンテカルロ推定器が n(p+1) 回のモデルシミュレーションを必要とするのに対し、本手法はシミュレーション回数を顕著に削減する。
• 理論的境界から、モデル選択のペナルティ項 pen(J) が過学習を制御し、一貫性を保証するために十分であることが示された。
• 本手法は、注射薬使用者（PWID）におけるヘパチティスC感染伝播のSIRモデルに適用され、実世界の疫学的モデリングにおける実用的応用が確認された。