[論文レビュー] Nonparametric estimation of the fragmentation kernel based on a PDE stationary distribution approximation

Van Hà Hoang, Thanh Mai Pham Ngoc+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Statistical Methods and Inference参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、個体ベースモデルのPDE近似による定常分布を用いて、サイズ構造的細胞分裂モデルにおける破断核の非パラメトリック推定量を提案する。PDEの固有値構造から導かれるフーリエに基づくデコンボリューション問題を解くことで、大人口極限下で一貫性を達成する。実用的なロバストネスを確保するため、リサンプリングを用いたバンド幅選択を実施する。

ABSTRACT

We consider a stochastic individual-based model in continuous time to describe a size-structured population for cell divisions. This model is motivated by the detection of cellular aging in biology. We address here the problem of nonparametric estimation of the kernel ruling the divisions based on the eigenvalue problem related to the asymptotic behavior in large population. This inverse problem involves a multiplicative deconvolution operator. Using Fourier technics we derive a nonparametric estimator whose consistency is studied. The main difficulty comes from the non-standard equations connecting the Fourier transforms of the kernel and the parameters of the model. A numerical study is carried out and we pay special attention to the derivation of bandwidths by using resampling.

研究の動機と目的

• サイズ構造的確率的モデルにおける非対称細胞分裂を支配する破断核 h(γ) を推定すること。
• 分裂木が観察不能な状況下で、観察された集団サイズ分布から h(γ) を回復する逆問題に対処すること。
• 個体ベースモデルのPDE近似の漸近的定常分布に基づく非パラメトリック推定量を開発すること。
• 大人口極限（K → ∞）下での推定量の一貫性を保証し、リサンプリングを用いたバンド幅選択ルールを導出すること。
• 核 h と定常分布の特性関数の間の非標準的フーリエ関係を扱うこと。

提案手法

• 連続的成長と割合 R での二分岐を伴う確率的個体ベース過程を用いて集団動態をモデル化する。
• 細胞サイズの経験的測度を、破断核 h(γ) と関連する定常解を持つPDEで近似する。
• PDEの定常解に関連する固有値問題を導出し、h(γ) に関連する特性関数 M*(ξ) を得る。
• フーリエ逆変換を用いて、核 h(γ) を M*(ξ) とサイズ分布の特性関数を含むデコンボリューション問題として表現する。
• 経験的特性関数を用いた非パラメトリックカーネル型推定量 h(γ) を構築し、ブートストラップなどのリサンプリングを用いてバンド幅選択を実施する。
• ベルンシュタインおよびローゼンタールの不等式を用いて、推定誤差を制御することで、フーリエ空間における平均二乗誤差のバインドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分裂木が観察不能な状況下で、大規模集団の定常サイズ分布から破断核 h(γ) を一貫して推定できるか？
• RQ2 PDE定常分布に基づく非パラメトリック推定量は、特に高周波数フーリエ成分においてバイアスと分散の観点でどの程度の性能を示すか？
• RQ3 ノイズや有限標本によるフーリエ推定の下で、カーネル推定量の最適なバンド幅選択戦略は何か？
• RQ4 h(γ) と定常分布の間の非標準的フーリエ方程式が推定手順およびその理論的性質に与える影響は何か？
• RQ5 リサンプリングに基づくバンド幅選択は、推定量の有限標本性能をどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案された破断核 h(γ) の非パラメトリック推定量は、大人口極限（K → ∞）下で一貫性を示す。
• 推定量の平均二乗誤差は、フーリエ空間において C · min{1/|M*(ξ)|², n⁻¹/|M*(ξ)|⁴} でバインドされる。ここで M*(ξ) はサイズ分布の特性関数である。
• リサンプリング（例：ブートストラップ）を用いたバンド幅選択は、推定量の安定化と有限標本性能の向上に有効であることが示された。
• PDE固有値問題に起因する非標準的デコンボリューション構造を処理でき、核 h(γ) が複雑な特性関数を通じて定常分布と関連している。
• ベルンシュタインおよびローゼンタールの不等式を用いて、経験的特性関数とその期待値の乖離を制御する理論的バインドを導出した。
• 数値的検証により、推定量の実現可能性とロバストネスが確認された。特に、生物学的モデルで予想されるように核 h(γ) が 1/2 の周りで対称である場合に顕著である。