[論文レビュー] Nonparametric independence tests in metric spaces: What is known and what is not

Fernando Castro-Prado, Wenceslao González–Manteiga|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2020

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、度合い空間における距離相関の修正され包括的なレビューを提供し、Lyons (2013) の基礎的誤りを、HoeffdingのU統計量理論および対称化技術の厳密な分析を通じて是正する。距離共分散は $ L^{5/3} $ 瞬間条件の下で一貫して推定可能であり、リサンプリングによる漸近的帰無分布の導出により、一般の度合い空間における有効な非パラメトリック推論が可能になる。

ABSTRACT

Distance correlation is a recent extension of Pearson's correlation, that characterises general statistical independence between Euclidean-space-valued random variables, not only linear relations. This review delves into how and when distance correlation can be extended to metric spaces, combining the information that is available in the literature with some original remarks and proofs, in a way that is comprehensible for any mathematical statistician.

研究の動機と目的

• 度合い空間における距離相関の理論的基盤を是正・明確化すること。Lyons (2013) の元の定式化には欠陥があった。
• 数学的統計学者が利用可能な、距離相関に必要な抽象的度合い空間理論の自己完結的かつ理解しやすい説明を提供すること。
• 距離共分散のU統計量推定量の一貫性を保証する十分な瞬間条件（$ L^{5/3} $）を確立すること。
• 独立性の帰無仮説の下での検定統計量の漸近的帰無分布を導出することにより、有効な仮説検定を可能にすること。
• 帰無分布の漸近的形が実用的に扱いにくい場合の代替手段として、パーミュテーションリサンプリングを提唱すること。

提案手法

• 度合い空間における距離共分散の推定における非対称カーネルを是正するため、対称化されたU統計量を用いる。
• HoeffdingのU統計量に対する強大数法則を適用し、$ L^{5/3} $ 瞬間条件の下で推定量のほとんど確実収束を証明する。
• Fubiniの定理とインデックスへの群作用を用いて、V統計量と対称化U統計量の等価性を示す。
• 帰無仮説の下で $ nV_n^6(h) $ の漸近的分布を、$ ext{chi-squared}(1) $ 変数の線形結合として導出し、非集中性項 $ D( u)D( u) $ を含む。
• 対称化カーネル $ \bar{h} $ の可積分性条件の下、ArconesとGiné (1992) が確立したブートストラップの一貫性を援用し、パーミュテーションリサンプリングが一貫したアプローチであることを正当化する。
• 数学的厳密性を保証するため、Jakobsen (2017) の修正理論およびLyons (2018) の訂正論文に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の度合い空間において、距離共分散のU統計量推定量が一貫するための瞬間条件は何か？
• RQ2 元の Lyons (2013) が漸近的帰無分布を導出しようとした際に失敗した理由は何か？そして、どのように是正できるか？
• RQ3 検定統計量の漸近的帰無分布は、推論に有用な形で表現可能か？もし不可能ならば、代替手段は何か？
• RQ4 非対称カーネルの対称化が、この文脈におけるU統計量理論の有効性をどのように回復するか？
• RQ5 パーミュテーションリサンプリングは、度合い空間設定における検定統計量の帰無分布を近似する有効で一貫した方法であるか？

主な発見

• U統計量推定量 $ \tilde{U}_n^6(h) $ は、$ L^{5/3} $ 瞬間条件 $ \theta \notin M_1^{5/3,5/3}(\text{X} \times \text{Y}) $ の下で、真の距離共分散 $ \text{dcov}(\theta) $ にほとんど確実に収束する。
• 帰無仮説の下での $ nV_n^6(h) $ の漸近的帰無分布は、$ \frac{1}{n} \to \text{chi-squared}(1) \text{変数の和} - 1 + \text{非集中性項 } D(\nu)D(\nu) $ である。
• 非集中性項 $ D(\nu)D(\nu) $ は、周辺空間が負の型を有する場合にのみ帰無仮説の下で生じる。これは、恒等式 $ \text{固有値 } \text{lambda}_i \text{の和} = D(\nu)D(\nu) $ を保証する条件である。
• 固有値が未知のため、漸近的帰無分布は実用的推論には不適切であり、リサンプリングが不可欠である。
• パーミュテーションリサンプリングは、対称化カーネル $ \bar{h} $ の可積分性の下で、ArconesとGiné (1992) の結果により一貫した近似法である。
• 修正理論により、Lyons (2013) に長年の誤りが是正され、一般の度合い空間における距離相関の理論的妥当性が回復された。