[論文レビュー] Nonparametric testing for no-effect with functional responses and functional covariates

Valentin Patilea, César Sánchez-Sellero+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2012

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特定の回帰モデルを仮定せずに、関数的または多次元の予測変数が関数的応答に与える効果を検出する非パラメトリック検定を提案する。1変量の近隣ノンパラメトリックスムージングと、高次元の予測変数を1変量インデックスに射影する次元削減ステップを用い、検定統計量は標準正規分布に漸近的に従う。これにより、一般の誤差構造と設計条件下でも線形および非線形効果の両方を検出可能となる。

ABSTRACT

This paper examines the problem of nonparametric testing for the no-effect of a random covariate (or predictor) on a functional response. This means testing whether the conditional expectation of the response given the covariate is almost surely zero or not, without imposing any model relating response and covariate. The covariate could be univariate, multivariate or functional. Our test statistic is a quadratic form involving univariate nearest neighbor smoothing and the asymptotic critical values are given by the standard normal law. When the covariate is multidimensional or functional, a preliminary dimension reduction device is used which allows the effect of the covariate to be summarized into a univariate random quantity. The test is able to detect not only linear but nonparametric alternatives. The responses could have conditional variance of unknown form and the law of the covariate does not need to be known. An empirical study with simulated and real data shows that the test performs well in applications.

研究の動機と目的

• 特定のパラメトリックモデルを仮定せずに、予測変数が関数的応答に影響を及ぼさないという帰無仮説の非パラメトリックな適合度検定を開発すること。
• 予測変数が単変量、多変量、または関数的である場合を含め、それらの次元を1つのインデックスに削減することにより対応すること。
• 線形および非線形効果を両方検出可能な検定統計量を構築すること、特に条件付き分散が未知である場合でも有効であること。
• 予測変数の分布が未知であり、誤差構造が一般であるという最小限の正則性条件のもとで漸近的に有効であること。
• 予測変数が応答に影響を与えるかどうかを検証する手法として、関数的回帰におけるモデルの妥当性を検証する実用的手法を提供すること。

提案手法

• データから推定された方向 $\gamma$ を用いて、高次元または関数的予測変数 $X$ を1変量インデックス $\langle X, \gamma \rangle$ に射影する次元削減技術を適用する。
• 1変量の最近接ノンパラメトリックスムージングを用いて、関数的応答 $U$ の条件付き期待値 $\mathbb{E}(U \mid \langle X, \gamma \rangle)$ を推定する。
• スムージングされた残差に基づく2次形式の検定統計量を構築し、条件付き期待値が0から逸脱する度合いを測定する。
• 帰無仮説 $\mathbb{E}(U \mid X) = 0$ がほとんど surely 成り立つものとして、標準正規分布を用いて漸近的臨界値を導出する。
• 代替効果に対する感度を最大にする最適な方向 $\widehat{\gamma}_n$ を探索するための逐次的数値アルゴリズムを実装する。
• 零仮説でない場合にアルゴリズムの一貫性を示すために、条件付き期待値が0となる方向の集合がLebesgue測度0であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のモデルを仮定せずに、関数的または多次元の予測変数が関数的応答に影響を及げないことを検出できる非パラメトリック検定は存在するか？
• RQ2 高次元または関数的予測変数の効果を、検定の目的に応じて1変量インデックスに要約する方法は何か？
• RQ3 条件付き分散や予測変数の分布が未知である一般の条件下でも、提案手法は正しいサイズとパワーを維持するか？
• RQ4 線形モデルやFPCに基づく検定が見逃す可能性のある非線形および非パラメトリックな代替仮説も検出可能か？
• RQ5 最適インデックス方向を推定するための逐次的アルゴリズムは、代替仮説のもとで理論的に正当化され、一貫性を示すか？

主な発見

• 提案された検定統計量は、帰無仮説のもとで漸近的に標準正規分布に従う。
• 最小限の仮定のもとで有効である：パラメトリックモデルは必要なく、条件付き分散が未知であってもよく、予測変数の分布が未知であってもよい。
• 線形および非線形効果の両方を検出可能であり、既存のFPCに基づく手法が非線形代替仮説を検出できないという制限を克服する。
• 次元削減ステップにより、予測変数が関数的または高次元であっても、検定の実行可能性とパワーが保たれる。
• 理論的裏付けとして、条件付き期待値が0となる方向の集合がLebesgue測度0であることが示され、情報を持つ方向の存在が裏付けられる。
• シミュレーションおよび実データ（例：カナダ気象データ、ミカンバエの産卵データ）を用いた実証的研究により、有限標本でも良好な性能が示された。