[論文レビュー] Nontrivial realization of the space-time translations in the theory of quantum fields

Marcin Kaźmierczak|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、空間時間座標に依存するラグランジアンを構成することによって、量子場が空間時間並進を含む全Poincaré群の非自明な表現に一貫して変換できることを示している。主な結果は、Poincaréスピンル場およびPoincaréベクトル場が、ユニタリ性、因果性、ゲージ不変性を満たす形で定式化可能であり、標準的量子場理論を自明な並進作用を超えて拡張できることである。

ABSTRACT

In standard quantum field theory, the one-particle states are classified by unitary representations of the Poincaré group, whereas the causal fields' classification employs the finite dimensional (non-unitary) representations of the (homogeneous) Lorentz group. A natural question arises - why the fields are not allowed to transform nontrivially under translations? We investigate this issue by considering the fields that transform under the full representation of the Poincaré group. It follows that such fields can be consistently constructed, although the Lagrangians that describe them necessarily exhibit explicit dependence on the space-time coordinates. The two examples of the Poincaré-spinor and the Poincaré-vector fields are considered in details. The inclusion of Yang--Mills type interactions is considered on the simplest example of the U(1) gauge theory. The generalization to the non-abelian case is straightforward so long as the action of the gauge group on fields is independent of the action of the Poincaré group. This is the case for all the known interactions but gravity.

研究の動機と目的

• 標準的QFTにおける量子場がPoincaré群の完全な構造にもかかわらず空間時間並進に対して自明に変換される理由を調査すること。
• 全Poincaré群に対して非自明に変換する場が、量子場理論において一貫して構成可能かどうかを特定すること。
• Yang-Mills型相互作用を含む、このような場のラグランジュ形式を構築し、因果性およびユニタリティと整合しているかを検証すること。
• ゲージ群がPoincaré群とは独立に作用する非アーベルゲージ理論への一般化を図ること。

提案手法

• Lorentz群分類を超えて、Poincaré群の有限次元非ユニタリ表現を構築し、量子場を分類する。
• 非自明な並進変換と整合性を保つために、空間時間座標に明示的な依存性を持つ場の運動方程式およびラグランジアンを導出する。
• Weinberg-Wignerの一貫性条件を用いて、場の表現をユニタリPoincaré群表現を通じて1粒子状態と関連付ける。
• Poincaré代数生成子の行列表現を用いて、PoincaréスピンルおよびPoincaréベクトル場を明示的に構成する。
• 得られた場が標準的Poincaré代数の交換関係を満たし、運動方程式がローレンツ不変性を満たすことを確認する。
• ゲージ群作用とPoincaré群作用が可換であることを保証することで、U(1)および非アーベルゲージ理論への形式の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論において、ユニタリ性および因果性を保ちながら、空間時間並進に対して非自明に変換する量子場は可能か？
• RQ2 全Poincaré群の非自明な表現に従って変換する場を記述するためには、ラグランジアンがどのような形をとる必要があるか？
• RQ3 並進作用が場に対して非自明に働く場合、場の運動方程式および対称性は、標準的な自明な作用と比べてどのように変化するか？
• RQ4 Yang-Mills型相互作用を、非自明なPoincaré群変換を受ける場に一貫して結合可能か？
• RQ5 ゲージ群の並進部分が非自明に作用する場合、Poincaréゲージ理論フレームワークは、標準的物質場と整合的か？

主な発見

• 空間時間依存性を有するラグランジアンを用いることで、Poincaré代数と整合的であることが保証されるため、量子場における空間時間並進の非自明な実現が可能である。
• PoincaréスピンルおよびPoincaréベクトル場は、Poincaré群の有限次元表現として明示的に構成されており、生成子は標準的交換関係を満たす。
• Weinberg一貫性条件から導かれる場の振幅は、一意的なスピン値に対応しており、場が粒子状態として物理的に解釈可能であることが確認された。
• U(1)ゲージ理論の例では、相互作用ラグランジアンがグローバルPoincaré変換に対して不変であり、ゲージ場が並進に対して非自明に変換することが分かった。
• ゲージ群作用とPoincaré群作用が可換である限り、非アーベルゲージ理論への一般化は明快に可能であり、ゲージ不変性が保たれる。
• 特定のケース（M=1, n=0, qc=1）について、Poincaré生成子の表現行列を明示的に計算した結果、類似変換によりPoincaréベクトル表現と等価であることが確認された。