[論文レビュー] Norm-attaining functionals and proximinal subspaces

Martin Rmoutil|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、G. Godefroyが提起した問題を解決し、C0の特定の再ノルム化（C.J. Readによるもの）を施した空間において、ノルムを達成する汎関数の集合に2次元部分空間を含まないことを示している。有限余次元部分空間における近似可能性およびノルムを達成する汎関数の詳細な分析を通じて、この空間では含意 (B) ⇒ (A) が成り立たないことが証明され、任意のバナッハ空間においてNA(X)が2次元部分空間を含まないという存在の反例が得られた。

ABSTRACT

G. Godefroy asked whether, on any Banach space, the set of norm-attaining functionals contains a 2-dimensional linear subspace. We prove that a recent construction due to C.J. Read provides an example of a space which does not have this property. This is done through a study of the relation between the following two sentences where X is a Banach space and Y is a closed subspace of finite codimension in X: (A) Y is proximinal in X. (B) The annihilator of Y consists of norm-attaining functionals. We prove that these are equivalent if X is the Read's space. Moreover, we prove that any non-reflexive Banach space X with any given closed subspace Y of finite codimension at least 2 admits an equivalent norm such that (B) is true and (A) is false.

研究の動機と目的

• バナッハ空間がそのノルムを達成する汎関数の集合に2次元部分空間を含むかどうかというG. Godefroyの未解決問題を解決すること。
• 有限余次元部分空間Yの近似可能性（A）とその直交補空間Y⊥がノルムを達成する汎関数からなること（B）との同値性を調査すること。
• 含意 (B) ⇒ (A) が成り立たないようなc0の再ノルム化を構成することにより、NA(X)が2次元部分空間を含まないことを示すこと。
• 非完備なバナッハ空間Xと余次元≥2の閉部分空間Yに対して、Yが近似可能でないがY⊥がノルムを達成する汎関数からなるような等価ノルムが存在することを示すこと。
• Readが再ノルム化したc0空間がR(1)（すなわち、(B) ⇒ (A) が成り立つ）であることを確立すること。これはNA(X)に2次元部分空間が存在しないことを証明するために不可欠である。

提案手法

• 商空間X/Yの構造を用いて、(A)：YがXにおいて近似可能であることと、(B)：Y⊥がノルムを達成する汎関数からなることとの同値性を分析する。
• 商写像q: X → X/Yが単位球BXをBX/Yに写すという近似可能性の特徴づけを用いる。
• ノルムを達成する汎関数の特徴づけを商空間を用いて行う：y* ∈ Y⊥がノルムを達成する ⇔ に対応するϕ ∈ (X/Y)* がq(BX)上でノルムを達成する。
• 弱く局所的に回転可能な（WLUR）空間における十分条件の証明技法を、Readが再ノルム化したc0の構造に適応して用いる。
• ℓ1上の特定の等価ノルムを用いた反例の構成を行い、双対性および商空間の議論を応用してc0に応用する。
• ℓ1内の汎関数の列を用いた極限的議論により、ある極限が同時に非ゼロかつ点単位収束であることは不可能であることを示し、2次元部分空間が存在すると仮定した場合の矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のバナッハ空間は、そのノルムを達成する汎関数の集合に2次元部分空間を含むか？
• RQ2 バナッハ空間Xの有限余次元部分空間Yに対して、(A)：Yが近似可能であることと、(B)：Y⊥がノルムを達成する汎関数からなることとの含意 (B) ⇒ (A) は常に成り立つか？
• RQ3 任意の非完備なバナッハ空間は、ある有限余次元部分空間Yに対して (B) ⇒ (A) が成り立たないような再ノルム化が可能か？
• RQ4 Readが再ノルム化したc0空間はR(1)であるか（すなわち、すべての有限余次元部分空間に対して (B) ⇒ (A) が成り立つか）？
• RQ5 バナッハ空間におけるノルムを達成する汎関数の集合から2次元部分空間を完全に避けることは可能か？

主な発見

• Readによるc0の再ノルム化空間 (c0, |||·|||) において、NA(c0, |||·|||) は2次元部分空間を含まない。これはGodefroyの問題に対する否定的解答である。
• 空間 (c0, |||·|||) はR(1)である。つまり、すべての有限余次元部分空間に対して (B) ⇒ (A) が成り立つ。これは主結果を導くために極めて重要である。
• 任意の非完備なバナッハ空間Xと、余次元≥2の閉部分空間Yに対して、Yが近似可能でないがY⊥がノルムを達成する汎関数からなるような等価ノルムが存在する。
• これは、任意の非完備なバナッハ空間がR(1)性質を失うように再ノルム化可能であることを示唆する。つまり、(B) ⇒ (A) が普遍的に成り立たない。
• 証明では、ℓ1内の汎関数の列を用いた構成と、商空間における点単位収束とノルム収束の矛盾に基づく背理法を用いている。
• 著者らは、新しいℓ1上のノルムにおいて、商写像による単位球の像を特定の凸集合Aに一致させられることを示し、これにより直交補空間のノルムを達成する性質を制御している。