[論文レビュー] Norm of the Whittaker vector of the deformed Virasoro algebra

Shintarou Yanagida|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、変形バーチャコ・代数におけるホイットカー・ベクトルのノルムに関するザモロドチコフ型再帰的公式を証明し、阿部と山田が提唱した純粋な SU(2) 5次元 AGT 対応を確立する。再帰的構造は、5次元ネクラーソフ・パーティション関数のインスタントン部に一致し、5次元超対称ゲージ理論と conformal field theory 間の重要な双対性を確認する。

ABSTRACT

We give a proof of the recursive formula on the norm of Whittaker vector of the deformed Virasoro algebra, which is an analog of the one for the Virasoro Lie algebra proposed by Al. Zamolodchikov. Our formula gives a proof of the pure SU(2) 5d AGT relation proposed by Awata and Yamada. We also give a summary of the structures of the deformed Virasoro algebra and the fundamental properties of the Verma module.

研究の動機と目的

• 変形バーチャコ代数におけるホイットカー・ベクトルのノルムに関する再帰的公式を証明すること。これは、5次元 AGT 対応を検証するために不可欠である。
• 5次元ネクラーソフ・パーティション関数のインスタントン部と、変形バーチャコ代数のヴェルマ加群におけるホイットカー・ベクトルのノルムとの間の関係を確立すること。
• 阿部と山田が予想した純粋な SU(2) 5次元 AGT 関係に、厳密な数学的基盤を提供すること。
• ボソン化技術とヴェルマ加群構造を用いて、4次元から5次元へのザモロドチコフ再帰的アプローチを拡張すること。

提案手法

• ザモロドチコフ型再帰を変形バーチャコ代数に適応し、ホイットカー・ベクトルのノルムに関する再帰的公式を導出する。
• ヘイゼンベルグ代数の演算子とピュア・スミス対称関数を用いて、変形バーチャコ代数の生成子をボソン化する。
• ヴェルマ加群における基本的基底とヘイゼンベルグ基底の間の遷移行列を用いて、特異ベクトルの正規化因子を計算する。
• ジャンツェン層構造と重みの分類を用いて、ヴェルマ加群および特異ベクトルの構造を分析する。
• T_{-\nu} のボソン化表現を適用し、行列要素を計算し、F_n(Q,q,t) の再帰的関係を導出する。
• 再帰的公式が、純粋な SU(2) ゲージ理論における5次元ネクラーソフ・パーティション関数のインスタントン部と一致することを検証し、AGT予想を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形バーチャコ代数におけるホイットカー・ベクトルのノルムは、バーチャコ代数におけるものと類似したザモロドチコフ型再帰的公式を満たすか？
• RQ2 この再帰的公式を用いて、阿部と山田が提唱した純粋な SU(2) 5次元 AGT 対応を証明できるか？
• RQ3 変形バーチャコ代数における特異ベクトルの正規化因子は、対称関数およびヘイゼンベルグ代数実現とどのように関係するか？
• RQ4 変形バーチャコ代数におけるヴェルマ加群およびその特異ベクトルの正確な構造は何か？
• RQ5 SU(2) ゲージ理論における5次元ネクラーソフ・パーティション関数のインスタントン部は、変形バーチャコ代数のヴェルマ加群におけるホイットカー・ベクトルのノルムと等しいか？

主な発見

• ホイットカー・ベクトル $ \left<w_{\xi},w_{\xi}\right> $ のノルムは、$ \xi^2 t/q $ のべき級数として表され、係数 $ F_n(Q,q,t) $ は再帰的公式を満たす。
• 再帰的公式は $ F_n(Q,q,t) = \delta_{n,0} + \sum_{1 \leq rs \leq n} \frac{A_{r,s}(q,t) F_{n-rs}(q^r t^s, q, t)}{Q - q^r t^{-s}} $ で与えられ、ここで $ A_{r,s}(q,t) $ は $ (i,j) \neq (0,0) $ を満たす $ i,j $ に関する積を含む有理関数である。
• 係数 $ A_{r,s}(q,t) $ は明示的に $ -\text{sign}(r) q^r t^{-s} \prod_{\substack{-|r| \leq i \leq |r|-1 \\ -|s| \leq j \leq |s|-1 \\ (i,j) \neq (0,0)}} \frac{1}{1 - q^i t^{-j}} $ として計算される。
• ヴェルマ加群 $ M(h_{r,s}) $ における特異ベクトル $ v_{r,s} $ の正規化因子は $ \prod_{i=1}^r \left( \frac{1 - t^i}{t^i} \right)^s $ として導出され、ボソン化構造を確認する。
• F_n(Q,q,t) の再帰的公式は、純粋な SU(2) ゲージ理論における5次元ネクラーソフ・パーティション関数のインスタントン部と一致する。
• 証明により、アバタ＝ヤマダの予想、すなわちホイットカー・ベクトルのノルムが5次元ネクラーソフインスタントン・パーティション関数に等しいこと、すなわち純粋ゲージ理論における5次元 AGT 対応が確立される。