[論文レビュー] Instanton moduli spaces and $\mathscr W$-algebras

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、フレームド・ウーレンベック瞬間空間の等変交差コホロジーと $\mathscr{W}$-代数の表現論の間に深い対応を確立する。ハイパボリック制限函手と安定な包みを用いて、著者らは $\mathscr{W}$-代数作用の幾何的実現を構成し、コホロジー上のペアリングとカツ・シャパボフ形式を、特にホイットAKERベクトルとヘイゼンベルグ代数を通じて $\mathscr{W}$-加群内の代数的構造と同定する。

ABSTRACT

We describe the (equivariant) intersection cohomology of certain moduli spaces ("framed Uhlenbeck spaces") together with some structures on them (such as e.g.\ the Poincaré pairing) in terms of representation theory of some vertex operator algebras ("$\mathscr W$-algebras").

研究の動機と目的

• フレームド・ウーレンベック空間の等変交差コホロジーを通じて $\mathscr{W}$-代数の表現論を幾何的に実現すること。
• コホロジー上の代数的構造（例えばペアリングとカツ・シャパボフ形式）を $\mathscr{W}$-加群内の対応する構造と同定すること。
• モジュライ空間上のハイパボリック制限函手と $\mathscr{W}$-代数内の代数的作用の間の対応を確立すること。
• 層論的およびコホロジー的道具を用いてホイットAKERベクトルと $\mathscr{W}$-代数作用の幾何的構成を提供すること。
• 安定な包みと $\mathscr{W}$-代数の整数型を用いて、AGT対応を幾何的枠組みへと拡張すること。

提案手法

• フレームド $G$-バンドルのモジュライ空間上のハイパボリック制限函手を用い、ウーレンベック空間上の perverse な層をレヴィ部分代数群上のものと関連付ける。
• 安定な包みを用いて等変コホロジーにおける基底を構成し、それらを $\mathscr{W}$-加群内のホイットAKERベクトルと関連付ける。
• $\mathscr{W}$-代数の構成に BRST複体とスクリーニング作用素を用い、$\mathbf{A}$ 上で定義された整数型を導入する。
• カルタン部分代数に由来するコホロジー上のヘイゼンベルグ代数作用を、タウトロジカルバンドルの第1チエーン類と関連付ける。
• 双対基底を用いてコホロジー空間上のペアリングを構成し、幾何的および表現論的手段を用いてペアリングがペアリング双対性と整合することを証明する。
• $R$-行列形式論法とヤン・バクスター方程式を用いて、$\mathscr{W}$-代数作用における交換関係の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレームド・ウーレンベック空間の等変交差コホロジーは、どのように $\mathscr{W}$-代数の表現として実現可能か？
• RQ2 瞬間空間モジュライの文脈において、ペアリングとカツ・シャパボフ形式の幾何的起源は何か？
• RQ3 モジュライ空間上のハイパボリック制限函手は、$\mathscr{W}$-代数内の代数的作用とどのように対応するか？
• RQ4 安定な包みとホイットAKERベクトルは、コホロジー上の $\mathscr{W}$-代数作用の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 BRST複体と $\mathbf{A}$-型を用いて、$\mathscr{W}$-代数の整数型はどのように幾何的に実現されるか？

主な発見

• フレームド・ウーレンベック空間の等変交差コホロジーには、安定な包みとハイパボリック制限を用いて構成された自然な $\mathscr{W}$-代数作用が存在する。
• コホロジー上のペアリングは、ホイットAKERベクトルを通じて実現される $\mathscr{W}$-加群上のカツ・シャパボフ形式と同型である。
• コホロジー上のヘイゼンベルグ代数作用は、タウトロジカルバンドルの第1チエーン類に由来し、$\mathscr{W}$-代数構成におけるヘイゼンベルグ代数に対応する。
• $\mathscr{W}$-代数は、$\mathbf{A}$ 上の整数構造を持つ BRST複体を介してヘイゼンベルグ代数の部分代数として実現される。
• 安定な包みの構成により、コホロジーに対する幾何的基底が得られ、これは $\mathscr{W}$-加群における標準基底と一致し、双対性と整合する。
• $\mathscr{W}_{\mathbf{A}}({\mathfrak{g}}) \to \mathscr{W}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{l})$ の埋め込みは、BRST複体上の双複体構造を介して幾何的に構成され、ヘイゼンベルグ代数への包含と整合する。