[論文レビュー] Normal Functions and the Geometry of Moduli Spaces of Curves

Richard Hain|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、曲線のモジュライ空間上のジャコビアンバンドルの正則切断（正則関数）を用いて、特にそのコホロロジー不変量と曲率性質を通じて、モジュライ空間の幾何を研究する。エリアシバーオンの問題（除法的正則関数に沿ったゼロ切断の引き戻しの有理コホロロジー類に関する問題）を解決し、コンパクト型部分空間内のすべての完全な曲線においてモリワキの除数が非負の次数を持つことを確立する。これは、曲率形式の正性を通じてスロープ不等式に影響を与える。

ABSTRACT

In this paper normal functions (in the sense of Griffiths) are used to solve and refine geometric questions about moduli spaces of curves. The first application is to a problem posed by Eliashberg: compute the class in the cohomology of M_{g,n}^c of the pullback of the zero section of the universal jacobian along the section that takes [C;x_1,...,x_n] to Sum d_j x_j in Jac (C), where d_1 + ... + d_n = 0. The second application is to slope inequalities of the type discovered by Moriwaki. There is also a discussion of height jumping and its relevance to slope inequalilties.

研究の動機と目的

• コンパクト型の安定曲線のモジュライ空間上の普遍ジャコビアンのゼロ切断の引き戻しの有理コホロロジー類を計算すること。
• 特にモリワキの不等式を対象とする、モジュライ空間におけるスロープ不等式に対する新しいコホロロジー的アプローチを提供すること。
• モリワキの除数が、境界を除いた全モジュライ空間において非負の次数を持つことを、コンパクト型部分空間内のすべての完全な曲線に対して確立し、全モジュライ空間における非負性を予想すること。
• リー代数コホロロジーと基本群の完備化を用いて、正則関数およびその特徴類がタウトロジカルコホロロジーに果たす役割を調査すること。

提案手法

• 正則関数 $ \nu $ の特徴類 $ c(\nu) \in H^1(T, \mathbb{V}) $ を用いて、コホロロジーと曲率を関連付ける。$ H^0(T, \mathbb{V}_\mathbb{Q}) = 0 $ のとき、$ \nu $ は torsion を除いて $ c(\nu) $ で一意に定まる。
• 相対ジャコビアン $ J(\mathbb{V}) $ 上にバイエキステンションラインバンドル $ \mathcal{B} $ を構成し、その曲率が de Rham 類 $ S \circ c(\nu)^2 \in H^2(T, \mathbb{Q}) $ を表す。$ S $ が極化のとき、これは非負の (1,1)-形式である。
• 主な技術的道具は、トーリー群のコホロロジーとその完備化をリー代数コホロロジーを用いて同定すること：$ \operatorname{Ext}^\bullet_{\sf{MHS}_{g,n}}(\mathbb{Q}(0), \mathbb{V}) \cong H^\bullet(\mathfrak{u}_{C,P}, V_{C,P})^{\mathfrak{sp}(H_1(C))} $。
• 標準的同型 $ \Gamma_{C,P} \to \mathcal{G}_{C,P}(\mathbb{Q}) $ と関連するリー代数拡大 $ 0 \to \mathfrak{u}_{C,P} \to \mathfrak{g}_{C,P} \to \mathfrak{sp}(H_1(C)) \to 0 $ を用いて、正則関数を代数 $ A_{g,n}^\bullet $ と関連付ける。
• Dehn 回転の $ \mathfrak{u}_{C,P} $ の第二重量グレーディング商における像を用いて、境界除数類 $ \delta_h^P $ の係数を計算する。
• コンパクト化へのバイエキステンションラインバンドルの拡張を分析し、高さジャンプ現象を示す。これは、メトリックが codimension ≥2 で特異になり得ることを示し、曲率形式の振る舞いに影響を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $ \mathcal{M}_{g,n}^{c} $ 上の普遍ジャコビアンのゼロ切断の、次数ゼロの除法 $ \sum d_j [x_j] $ を定める切断に沿った引き戻しの有理コホロロジー類は何か？
• RQ2 正則関数に関連する曲率形式の正性から、モリワキのスロープ不等式が導けるか？
• RQ3 境界 $ \Delta_0 $ を避ける $ \overline{\mathcal{M}}_g $ 内のすべての完全な曲線において、モリワキの除数 $ M $ は非負の次数を持つか？
• RQ4 正則関数およびその特徴類は、$ \mathcal{M}_{g,n} $ のタウトロジカルコホロロジーとどのように関係するか？
• RQ5 基本群 $ \Gamma_{C,P} $ の完備化およびそのリー代数 $ \mathfrak{g}_{C,P} $ は、ホッジ構造の変動および正則関数を分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 除法切断 $ F_{\mathbf{d}} $ 沿いのゼロ切断の引き戻しの有理コホロロジー類は、$ \mathcal{M}_{g,n}^{c} $ 上の基本的正則関数で表現され、エリアシバーの問題が解決される。
• モリワキの除数 $ M = (8g+4)\lambda_1 - g\delta_0 - 4\sum_{h=1}^{\lfloor g/2\rfloor} h(g-h)\delta_h $ は、$ \mathcal{M}_g^{c} $ 内のすべての完全な曲線において非負の次数を持つ。これは、曲率形式 $ S \circ c(\nu)^2 $ の半正定性の結果である。
• $ S \circ c(\nu)^2 $ はバイエキステンションラインバンドルの曲率の自然な de Rham 代表元であり、$ S $ が極化のとき非負の (1,1)-形式である。
• $ \nu^*\phi_V $ の公式における境界除数類 $ \delta_h^P $ の係数は、$ \mathfrak{u}_{C,P} $ の第二重量グレーディング商における Dehn 回転の像によって決定される。
• コンパクト化へのバイエキステンションラインバンドルの拡張は「高さジャンプ」を示し、メトリックが codimension ≥2 で特異になり得るが、バンドル自体は自然に拡張される。
• モジュライ空間 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上の混合ホッジ構造の圏は、リー代数 $ \mathfrak{g}_{C,P} $ のホッジ表現の圏と同値であり、拡張はリー代数コホロロジーによって制御される。