[論文レビュー] Torelli Groups and Geometry of Moduli Spaces of Curves

Richard Hain|ArXiv.org|Mar 27, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、ホッジモジュールの理論を用いて、ジャンビアンの原始的コホロロジーからトーリー群の第一有理コホロロジーへのジョンソン準同型の詳細な解説を提供する。$ g \geq 3 $ のとき、レベル $ l $ 構造をもつモジュライ空間 $ \mathcal{M}_g(l) $ のピカール群は有限生成であり、すべての一般に定義された正規関数は、サイクル $ C - C^{-} $ の正規関数の有理数倍であることが示され、ハリス＝パルト theorem の新たな証明と、レベル構造に対する一般化されたフランチェッタ予想が得られる。

ABSTRACT

In this paper we give an exposition of Dennis Johnson's work on the first homology of the Torelli groups and show how it can be applied, alone and in concert with Saito's theory of Hodge modules, to study the geometry of moduli spaces of curves. For example, we show that the picard groups of moduli spaces of curves with a fixed level structure are finitely generated, classify all "natural" normal functions defined over moduli spaces of curves with a fixed level, and also "compute" the height paring between cycles over moduli spaces of curves which are homologically trivial and disjoint over the generic point. Several new sections have been added. These apply the results on normal functions to prove generalizations of the classical Franchetta conjecture for curves and abelian varieties. In one section, the monodromy group of nth roots of the canonical bundle is computed.

研究の動機と目的

• $ PH^3(\operatorname{Jac} C, \mathbb{Q}) $ から $ H^1(T_g, \mathbb{Q}) $ へのジョンソン準同型の包括的解説を提供すること。これは、トーリー群コホモロジーとジャンビアン幾何学を結ぶ。
• ジョンソンの計算と斎藤のホッジモジュール理論を用いて、$ g \geq 3 $ のとき $ \mathcal{M}_g(l) $ 上で一般に定義された正規関数の構造を同定すること。
• 一般曲線にレベル $ l $ 構造をもたせた場合の一般化フラヌチェッタ予想を証明し、そのピカール群が torsion を除いてランク 1 に有限生成であることを示すこと。
• 次元制約の下で、曲線のモジュライ空間上での、ホモロジカルに自明でかつ交わらないサイクル間のアーキメデス的高さペアリングを計算すること。
• 主に極化されたアーベル多様体のモジュライ空間 $ \mathcal{A}_g(l) $ へ類似結果を拡張し、正規関数の有限性と高さペアリングの有理性を示すこと。

提案手法

• ジョンソン準同型の3通りの同値な構成法の解説と、それらの同値性の証明。これは正規関数への応用にとって不可欠である。
• Saitoのホッジモジュール理論を用いて、特に負の重みをもつ $ \mathcal{M}_g(l) $ 上のホッジ構造の変動を分析すること。
• ジョンソンの結果 $ H^1(T_g, \mathbb{Q}) \cong PH^3(\operatorname{Jac} C, \mathbb{Q}) $ を応用し、$ \mathcal{M}_g(l) $ 上の正規関数を分類。それらがサイクル $ C - C^{-} $ の正規関数の有理数倍であることを示す。
• $ \Gamma_g $ の $ n $ 乗根への作用の核による商を計算し、唯一の全域的定義された根は canonical bundle とすべてのシータ特性であることを証明すること。
• Noriの、$ \mathcal{A}_g(L) $ の有限被覆上の正規関数に関する結果を用いて、$ \mathcal{M}_g(l) $ 上の結果と比較・対比する。特に分岐被覆の場合に注目する。
• 第9節の議論を適応し、$ Sp_g $ の既約表現が偶数または奇数であることを示し、関連するホッジ構造の重みを特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ g \geq 3 $ およびレベル $ l $ 構造をもつとき、$ \mathcal{M}_g(l) $ 上で一般に定義された正規関数の群の正確な構造は何か？
• RQ2 ジョンソン準同型は、特にコホモロジーやピカール群の観点から、モジュライ空間 $ \mathcal{M}_g(l) $ の幾何学とどのように関係するか？
• RQ3 古典的フラヌチェッタ予想は、曲線のレベル $ l $ 構造をもつモジュライ空間へ一般化可能か？この場合のピカール群の構造は何か？
• RQ4 標準的な次元制約の下で、モジュライ空間上での、ホモロジカルに自明でかつ交わらない2つのサイクル間のアーキメデス的高さペアリングは何か？
• RQ5 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上での正規関数および高さペアリングに関する結果は、$ \mathcal{A}_g(l) $ 上での類似結果とどのように比較できるか？特にNoriの定理の視点から。

主な発見

• $ g \geq 3 $ のとき、$ \mathcal{M}_g(l) $ のピカール群は有限生成であり、torsion 部分は $ (\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})^{2g} $ に同型である。torsion を除くと、$ l $ が奇数のときは canonical bundle が生成元となり、$ l $ が偶数のときは canonical bundle の平方根が生成元である。
• $ g \geq 3 $ のとき、$ \mathcal{M}_g(l) $ 上で一般に定義されたすべての正規関数は、torsion を除いて、サイクル $ C - C^{-} $ の正規関数の有理数倍である。
• 相対次元 $ d $, $ e $, $ n $ のホモロジカルに自明でかつ交わらない2つのサイクル間のアーキメデス的高さペアリングは、$ d + e = n - 1 $ を満たすとき、$ \mathcal{M}_g(l) $ 上のある有理関数 $ h $ に対して $ \log|h(A)| $ で与えられる。
• トーリー空間上で定義される canonical bundle の根で、唯一のものは canonical bundle 自身とすべてのシータ特性である。これは $ \Gamma_g $ をその $ n $ 乗根への作用の核による商を計算することによって得られる。
• $ g \geq 2 $ かつ $ L/\pm I $ が torsion-free であるとき、$ \mathcal{A}_g(L) $ 上では、負の重みをもつホッジ構造の変動と、有理 $ Sp_g $-表現からのモノドロミーをもつ正規関数の群は有限である。
• $ \mathcal{A}_g(L) $ 上では、$ d + e = n - 1 $ を満たす交わらないホモロジカルに自明なサイクル間の高さペアリングは、モノドロミー表現が有理 $ Sp_g $-表現の制限である限り、有理的であり、$ \log|h(A)| $ で与えられる。