[論文レビュー] Normal homogeneous Finsler spaces

Ming Xu, Shaoqiang Deng|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Finsler計量の等長な準射影を介して正曲率を示す正規同次Finsler空間を導入し、正曲率を示すこのような空間の分類問題を代数的問題に還元する手法を確立する。主な結果は、商空間 $G/H$ が正曲率の正規同次Finsler計量を持つための必要十分条件が、同様に正曲率の正規同次リーマン計量を持つことである。非リーマン型の例の完全な分類が提供されている。

ABSTRACT

In this paper, we study normal homogeneous Finsler spaces. We first define the notion of a normal homogeneous Finsler space, using the method of isometric submersion of Finsler metrics. Then we study the geometric properties. In particular, we establish a technique to reduce the classification of normal homogeneous Finsler spaces of positive flag curvature to an algebraic problem. The main result of this paper is a classification of positively curved normal homogeneous Finsler spaces. It turns out that a coset space $G/H$ admits a positively curved normal homogeneous Finsler metric if and only if it admits a positively curved normal homogeneous Riemannian metric. We will also give a complete description of the coset spaces admitting non-Riemannian positively curved normal homogeneous Finsler spaces.

研究の動機と目的

• 正規同次リーマン多様体の理論をFinsler幾何学へ拡張するために、正規同次Finsler空間を定義すること。
• 特にフラッグ曲率に注目して、正規同次Finsler空間の幾何的性質を確立すること。
• 正曲率のフラッグ曲率を示すすべての正規同次Finsler空間を分類すること。
• 非リーマン型で正曲率の正規同次Finsler計量を持つ可能性があるすべてのコセット空間を特定・記述すること。
• 同相表現と固有値解析を用いて、分類問題を代数的条件に還元すること。

提案手法

• リー群上の双不変計量を用いて、リーマンの場合を一般化する形で、Finsler計量の等長な準射影を用いて正規同次Finsler空間を定義する。
• Lie代数 $\mathfrak{g}$ 上の双不変内積に関して、直交分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$ を用い、$G/H$ 上に $G$-不変なFinsler計量を誘導する。
• Finsler幾何における等長な準射影の理論を応用し、Finsler設定における正規性を定義する。
• 曲率と不変性の性質を調べるために、同相表現 $\mathrm{ad}(\mathfrak{h})$ を $\mathfrak{m}$ 上で分析する。
• 条件 (R) のテストのため、$\mathfrak{m}$ 内のベクトルの1パラメータ族 $v(t)$ を構成する。$t \neq 0$ かつ $|t|$ が小さいとき、$v(0)$ と $v(t)$ の固有値列が線形独立であることを保証し、特定の非リーマン計量を除外する。
• 根系解析と $\mathfrak{su}(n)$, $\mathfrak{sp}(n)$, $\mathfrak{so}(9)$, $\mathfrak{su}(5)$ 内の行列表現を用いて、これらの族を体系的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのコセット空間 $G/H$ が正曲率の正規同次Finsler計量を持つのか？
• RQ2 正曲率の正規同次Finsler空間の分類問題は、代数的問題に還元可能か？
• RQ3 同じコセット空間上で正曲率の正規同次Finsler計量が存在することと、正規同次リーマン計量が存在することの関係は何か？
• RQ4 どの正規同次Finsler空間が非リーマン型ではあるが、依然として正のフラッグ曲率を持つのか？
• RQ5 同相表現は、これらの空間における不変Finsler計量にどのような構造的制約を課えるのか？

主な発見

• コセット空間 $G/H$ が正曲率の正規同次Finsler計量を持つための必要十分条件は、同様に正曲率の正規同次リーマン計量を持つことである。
• 非リーマン型で正曲率の正規同次Finsler計量を持つコセット空間の完全なリストは、$\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SU}(n-1)$, $\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)$, $\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)$, $\mathrm{Sp}(n)S^1/\mathrm{Sp}(n-1)S^1$, $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)/\mathrm{Sp}(n-1)\mathrm{Sp}(1)$, $\mathrm{G}_2/\mathrm{SU}(3)$, $\mathrm{Spin}(7)/\mathrm{G}_2$, および $\mathrm{Spin}(9)/\mathrm{Spin}(7)$ である。
• $\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SU}(n-1)$, $\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)$, $\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)$, および $\mathrm{Sp}(n)S^1/\mathrm{Sp}(n-1)S^1$ の空間では、すべての不変Finsler計量が $(\alpha,\beta)$-計量である。
• $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)/\mathrm{Sp}(n-1)\mathrm{Sp}(1)$ の空間では、すべての不変Finsler計量が $(\alpha_1,\alpha_2)$-計量である。
• 例外的なケース $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SO}(3)/\mathrm{U}^*(2)$, $\mathrm{Sp}(2)/\mathrm{SU}(2)$, および $\mathrm{SU}(5)/\mathrm{Sp}(2)S^1$ は、標準的な $(\alpha,\beta)$ または $(\alpha_1,\alpha_2)$ クラスに含まれない唯一の非リーマン型例である。
• 上記の非リーマン型例の各々について、$v(0)$ と $v(t)$ ($t \neq 0$, $|t|$ が小さい) の固有値列が線形独立であるような1パラメータ族 $v(t)$ を構成することで、条件 (R) が成立しないことが確認され、特定の計量型が除外される。