[論文レビュー] Normal Hopf subalgebras, depth two and Galois extensions

Lars Kadison|ArXiv.org|Nov 6, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、深さ2の拡大における左自己準同型環が、$ R $-bialgebroidを介して基底代数の反対環上での左ガロア拡大であることを確立し、ホップ部分代数が正規であることとホップ-ガロア拡大であることの同値性を証明する。さらに、弱ホップ-ガロア拡大が深さ2であること、および有限次元の弱ホップ代数においてガロア写像の全射性が単射性を含意することを示す。

ABSTRACT

Let $S$ be the left $R$-bialgebroid of a depth two extension with centralizer $R$ as defined in math.QA/0108067. We show that the left endomorphism ring of depth two extension, not necessarily balanced, is a left $S$-Galois extension of $A^{ m op}$. Looking to examples of depth two, we establish that a Hopf subalgebra is normal if and only if it is a Hopf-Galois extension. We find a class of examples of the alternative Hopf algebroids in math.QA/0302325. We also characterize finite weak Hopf-Galois extensions using an alternate Galois canonical mapping with several corollaries: that these are depth two and that surjectivity of the Galois mapping implies its bijectivity.

研究の動機と目的

• 深さ2の拡大とbialgebroid作用の間のガロア対応を確立する。特に、左自己準同型環に関して。
• 深さ2のホップ部分代数が正規ホップ部分代数であるかどうかという問題を解消する。
• 弱ホップ-ガロア拡大を特徴づけ、全射性の下でガロア写像が単射であることを示す。
• 弱bialgebraの反対代数が代数上にガロア作用する場合、その反対作用からアンチポードを再構成する。これは、bialgebraに対してシュアウエンブルクの結果を一般化する。
• カナツキ分離代数と対称的分離要素を用いたねじれを介して、非双対ホップアーベイドの新しい例を提供する。

提案手法

• 左自己準同型環 $\mathcal{E} = \mathrm{End}_B A$ を用い、深さ2拡大の $ R $-bialgebroid $ S $ を用いて、$ A^{\mathrm{op}} $ 上の左 $ S $-ガロア拡大を構成する。
• ガロア写像の代替形 $\beta' : A \otimes_B A \to A \otimes H$ を $\beta'(a \otimes a') = a_{(0)}a' \otimes a_{(1)}$ で定義し、弱ホップ-ガロア拡大を特徴づける。
• 同型を含む可換図式を用いて、ガロア写像が主要構造を介して因数分解されることを示し、全射性の下で単射性を証明する。
• ガロア構造からの正規要素 $\ell_i, r_i$ を用いて、$S(h) = \sum_i \varepsilon(\ell_i(h)_{(1)} r_i(h)) \ell_i(h)_{(2)}$ で定義されるアンチポード $S: H \to H$ を定義する。
• 正規要素 $\ell_i, r_i$ と冪等元 $\Pi^L, \Pi^R$ を用いて、弱ホップ代数におけるアンチポード公理を検証する。
• bialgebroid理論およびガロア拡大の結果を用い、特に中心化子 $R = C_A(B)$ とテンソル平方中心性を用いて深さ2拡大を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ部分代数が正規であることとホップ-ガロア拡大であることの同値性は成り立つか？
• RQ2 弱ホップ-ガロア拡大のガロア写像が全射である場合、それが単射であることを示せるか？
• RQ3 体上に作用する弱bialgebraが代数上にガロア作用する場合、必ずアンチポードを備えるのか？
• RQ4 弱bialgebraのアンチポードは、そのガロア構造から再構成可能か？
• RQ5 非双対ホップアーベイドの新しい例は何か？また、カナツキ分離代数からどのように導かれるか？

主な発見

• 左自己準同型環 $\mathcal{E} = \mathrm{End}_B A$ は、バランス型や忠実平坦性の条件がなくても、$ A^{\mathrm{op}} $ 上の左 $ S $-ガロア拡大である。
• ホップ部分代数が正規であることとホップ-ガロア拡大であることの同値性が成り立ち、深さ2拡大の文脈における予想を解決する。
• 弱ホップ-ガロア拡大は深さ2であり、有限次元の弱ホップ代数ではガロア写像 $\beta'$ の全射性が単射性を含意する。
• 代数 $A$ 上にガロア作用する弱ホップ代数 $H$ のアンチポードは、$S(h) = \sum_i \varepsilon(\ell_i(h)_{(1)} r_i(h)) \ell_i(h)_{(2)}$ を用いてガロア構造から再構成可能である。
• カナツキ分離代数を用いた対称的分離要素によるねじれを介して、非双対ホップアーベイドの新しいクラスが得られる。
• 弱ホップ代数のガロア同型は、そのターゲット部分代数を介して因数分解され、新たな構造的分解が得られる。