[論文レビュー] Normal subgroups of mapping class groups and the metaconjecture of Ivanov

Tara Brendle, Dan Margalit|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、閉じた曲面の拡張写像類群の正規部分群で、小スティッピング支持を持つ元を含むものについて、自己同型群および抽象共役群が、自身の拡張写像類群に同型であることを証明する。証明は、曲面に関連する多くの単体的複体が、拡張写像類群に同型な自己同型群を持つことを示すことにより行われ、Ivanovのメタ予想を広範なクラスの対象について解決するとともに、正規部分群の分類のための新しい道具を確立する。

ABSTRACT

We prove that if a normal subgroup of the extended mapping class group of a closed surface has an element of sufficiently small support then its automorphism group and abstract commensurator group are both isomorphic to the extended mapping class group. The proof relies on another theorem we prove, which states that many simplicial complexes associated to a closed surface have automorphism group isomorphic to the extended mapping class group. These results resolve the metaconjecture of N.V. Ivanov, which asserts that any "sufficiently rich" object associated to a surface has automorphism group isomorphic to the extended mapping class group, for a broad class of such objects. As applications, we show: (1) right-angled Artin groups and surface groups cannot be isomorphic to normal subgroups of mapping class groups containing elements of small support, (2) normal subgroups of distinct mapping class groups cannot be isomorphic if they both have elements of small support, and (3) distinct normal subgroups of the mapping class group with elements of small support are not isomorphic. Our results also suggest a new framework for the classification of normal subgroups of the mapping class group.

研究の動機と目的

• Ivanovのメタ予想を解決すること。この予想は、曲面に関連する十分に豊かな任意の対象について、その自己同型群が拡張写像類群に同型であると予想する。
• 写像類群の正規部分群が自己同型群および抽象共役群を拡張写像類群に同型に持つための一般的基準を確立すること。
• 小スティッピング支持を持つ元の存在に基づいて、写像類群の正規部分群を分類するための新しい枠組みを提供すること。
• 右側アーティン群や曲面群などの特定の群が、小スティッピング支持を持つ元を含む正規部分群に同型であることはありえないことを示すこと。
• 異なる小スティッピング支持を持つ正規部分群が互いに同型でないことを示し、強い不変量を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、正規部分群の自己同型群を研究する問題を、曲面に関連する単体的複体の自己同型群を分析する問題に還元する。
• 頂点が連結な部分曲面に対応し、辺が互いに素性をもつものとして定義される単体的複体を定義し、弱い条件下でその自己同型群が拡張写像類群に同型であることを証明する。
• Putmanのテクニックを用いて、 genus $k-1$ の頂点に関連する「共有ペアグラフ」の連結性を示し、これが自己同型結果の根幹をなす。
• 著者たちは、Dehnねじれの理論と写像類群の構造を用いて、これらの複体への作用を生成する。
• Ivanovによって確立されたように、曲線複体の自己同型群が拡張写像類群に同型であるという事実を用い、他の複体へと結果を拡張する。
• 代替的な自己同型型を除外するために、部分曲面内の曲線と弧の配置を分析する、重要な技術的段階を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ivanovのメタ予想が予測するように、曲面に関連する十分に豊かな任意の対象について、その自己同型群が拡張写像類群に同型であるか？
• RQ2 写像類群の正規部分群の自己同型群は、小スティッピング支持を持つ元の存在によって、ただちに特定可能か？
• RQ3 小スティッピング支持を持つ元を含む写像類群の正規部分群は、同型を除いて一意的に決定可能か？
• RQ4 右側アーティン群や曲面群が、小スティッピング支持を持つ元を含む写像類群の正規部分群に同型であることはあり得るか？
• RQ5 異なる小スティッピング支持を持つ写像類群の正規部分群どうしは、互いに同型でないか？

主な発見

• 拡張写像類群の正規部分群で、十分に小さなスティッピング支持を持つ元を含むものについては、自己同型群が拡張写像類群に同型である。
• そのような正規部分群の抽象共役群も、拡張写像類群に同型である。
• 曲面に関連する自然に定義された多くの単体的複体の自己同型群は、拡張写像類群に同型であり、これには曲線複体や共有ペアグラフが含まれる。
• 異なる genus $g$ の写像類群の正規部分群で、小スティッピング支持を持つ元を含むものどうしは、互いに同型でない。
• 右側アーティン群や曲面群は、小スティッピング支持を持つ元を含む写像類群の任意の正規部分群に同型であることはありえない。
• 小スティッピング支持を持つ元を含む写像類群の異なる正規部分群どうしは、互いに同型でないことが示され、強力な分類不変量が確立された。