[論文レビュー] Normal subgroups of the braid group and the metaconjecture of Ivanov

Alan McLeay|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ブラッド群およびリーマン球面上のマーク付き点を持つ写像類群の特定の正規部分群の自己同型群と抽象的共役群が、自身が写像類群であることを示すことにより、イワノフのメタ予想を『領域の図』に関して解決する。中心との交わりが自明で、標準的生成子の積を高々 $(n-1)/3$ 個含むような $B_n$ の任意の正規部分群 $N$ に対して、$\mathrm{Aut}N$ が $\mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1})$ 内の $\Psi(N)$ の正規化群に同型であることを確立し、既知の結果を回復するとともに、下部中心系列、導来系列、およびジョーナスフィルトレーションの項へと拡張する。

ABSTRACT

We show that many normal subgroups of the braid group modulo its centre, and of the mapping class group of a sphere with marked points, have the property that their automorphism and abstract commensurator groups are mapping class groups of such spheres. As one application, we establish the automorphism groups of each term in the lower central series and derived series of the pure braid group. We also obtain new proofs of results of Dyer-Grossman and Orevkov, showing that the automorphism groups of the braid group and of its commutator subgroup are isomorphic. We then calculate the automorphism and abstract commensurator groups of each term in the hyperelliptic Johnson filtration, recovering a result of Childers for the Torelli case. The techniques used in the paper rely on resolving a metaconjecture of Nikolai V. Ivanov for "graphs of regions", extending work of Brendle-Margalit.

研究の動機と目的

• ブラッド群および写像類群の正規部分群の自己同型群と抽象的共役群の構造に関するニコライ・イワノフのメタ予想を解決すること。
• 純ブラッド群の下部中心系列、導来系列、およびハイパーエリプティックジョーナスフィルトレーションの項の自己同型群を特徴づけること。
• ブレンドル＝マーガリットの技法を『領域の図』へと拡張し、自己同型群がマーク付き球面の写像類群として同定可能であるようにすること。
• ブラッド群およびその交換子群の自己同型群に関する古典的結果の新しい証明を提供すること。

提案手法

• ブラッド群の中心による商 $B_n/Z$ を、$n+1$ 個のマーク付き点を持つ球面上の幾何的実現を介して、拡張写像類群 $\mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1})$ の部分群として解釈する。
• 写像 $\Psi: B_n/Z \hookrightarrow \mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1})$ の単射準同型を用い、$B_n/Z$ の正規部分群を写像類群の部分群に関連付ける。
• 自己同型群、共役群、正規化群を含む群の図式を用いて、$\mathrm{Aut}N$ を $\mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1})$ 内の $\Psi(N)$ の正規化群に関連付ける。
• 曲線複体への作用を伴う領域の図の理論を用い、自己同型および共役群の構造を分析する。
• $\mathrm{Mod}(S_{n+1},p)$ が $\mathrm{Mod}(S_{n+1})$ の有限指数部分群であるという事実を用い、$\mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1},p)$ に関する同型を導出する。
• 同型 $\Phi_1, \dots, \Phi_6$ の一連の単射準同型を用いて、特定の条件下で $\mathrm{Aut}N \cong \mathrm{Comm}N \cong \mathcal{M}_1$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心との交わりが自明で、高々 $(n-1)/3$ 個の標準的生成子の積を含むブラッド群 $B_n$ の正規部分群 $N$ の自己同型群の構造は何か？
• RQ2 純ブラッド群の下部中心系列および導来系列の項の自己同型群と抽象的共役群は、写像類群とどのように関係するか？
• RQ3 幾何的群論的手法をブラッド群および写像類群の文脈で用いて、『領域の図』に関するイワノフのメタ予想を解決できるか？
• RQ4 中心による商のブラッド・トーリー群の自己同型群は何か？ また、マーク付き球面の拡張写像類群とどのように関係するか？
• RQ5 正規部分群 $N$ の抽象的共役群が自己同型群に同型であるための条件は何か？

主な発見

• 中心との交わりが自明で、高々 $(n-1)/3$ 個の標準的生成子の積を含む $B_n$ の任意の正規部分群 $N$ に対して、$\mathrm{Aut}N$ は $\mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1})$ 内の $\Psi(N)$ の正規化群に同型である。
• $n \geq 7$ のとき、$\mathrm{Aut}[B_n, B_n] \cong \mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1},p) \cong B_n/Z \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• 中心による商のブラッド・トーリー群の自己同型群は $\mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1})$ に同型である。
• ハイパーエリプティックジョーナスフィルトレーションの各項の抽象的共役群は自己同型群に同型であり、両者ともマーク付き球面の写像類群に同型である。
• 純ブラッド群の下部中心系列および導来系列の各項の自己同型群は、マーク付き球面の写像類群に同型である。
• 本稿は、$n \geq 4$ のとき $\mathrm{Aut}B_n \cong \mathrm{Mod}^\pm(S_{n+1},p)$ であることを示す、ダイヤー＝グロスマンの結果の新しい証明を提供する。