[論文レビュー] Normalization of bundle holomorphic contractions and applications to dynamics

François Berteloot, Christophe Dupont+1 more|ArXiv.org|May 18, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、収縮率の正則な分割を伴う、正則的収縮のバンドル写像に対して、非自己同型のPoincaré-Dulac定理を確立し、指数的収縮モジュラスの共振条件の下で繰り返し共役写像の収束を証明する。主要な結果により、複素力学系における典型軌道に沿った楕円体の正確な歪み推定が可能となり、反発的周期軌道の乗数によるリャプノフ指数の近似が得られる。

ABSTRACT

We establish a Poincaré-Dulac theorem for sequences (G_n)_n of holomorphic contractions whose differentials d_0 G_n split regularly. The resonant relations determining the normal forms hold on the moduli of the exponential rates of contraction. Our results are actually stated in the framework of bundle maps. Such sequences of holomorphic contractions appear naturally as iterated inverse branches of endomorphisms of CP(k). In this context, our normalization result allows to precisely estimate the distortions of ellipsoids along typical orbits. As an application, we show how the Lyapunov exponents of the equilibrium measure are approximated in terms of the multipliers of the repulsive cycles.

研究の動機と目的

• 正則的収縮のバンドル写像枠組みにおける古典的Poincaré-Dulac正規化定理を、非自己同型系へと拡張すること。
• 固有値ではなく、指数的収縮率のモジュラスに基づいて、正規形を支配する共振関係を特徴づけること。
• 複素射影空間上の自己準同型の繰り返し逆分岐写像における、楕円体の歪み推定を精確に行うこと。
• 正規化プロセスを通じて、均衡測度のリャプノフ指数と反発的周期軌道の乗数との間の関係を確立すること。

提案手法

• 基底写像τが双射であるバンドル写像の設定を形式化し、ファイバーはC^kに従い、ε-遅延関数によってチューブが定義される。
• テイル係数の増加が十分に遅い「たんぱくバンドル写像」の概念を導入し、繰り返し共役列の収束を可能にする。
• 異なる指数的収縮率Λ_jと一様な誤差境界を持つ不変部分バンドルへの分解により、正則的収縮線形バンドル写像を定義する。
• 接続性および共振条件の下で、T_n = N^{-n} F^n の列が、Tが順序q+1で恒等写像にκ接する極限写像Tに収束することを確立する。
• 外積の導関数におけるスペクトル推定を用いて、体積歪みの増大を制御し、リャプノフ指数の近似を導出する。
• ハダマードの不等式およびブロック下三角化技術を用いて、軌道に沿った導関数のウェッジ積のノルムを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンドル上の正則的収縮の列が、共振単項式で定義される正規形に共役可能となる条件は何か？
• RQ2 非自己同型設定における正規化プロセスの収束に、収縮率Λ_j間の共振関係がどのように影響するか？
• RQ3 複素力学系における均衡測度のリャプノフ指数は、反発的周期軌道の乗数のみを用いて近似可能か？
• RQ4 ε-遅延関数は、基底空間全体にわたる共役写像の均一な収縮と収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 正規化写像T = lim_{n→∞} N^{-n} F^n は、ε-遅延チューブE(ρ_ε)上で一様に収束し、Tは順序q+1で恒等写像にκ接する。
• 任意のθ ∈ (M^{q+1}/m, 1)に対して、共役の誤差は|(N^n ∘ T - F^n)(v)| ≤ φ_ε(x)(mθ)^n |v|^{q+1}を満たす。ここでφ_εはε-速関数である。
• 均衡測度のリャプノフ指数は、反発的周期軌道の乗数の対数により近似可能であり、誤差はO(1/n) + ηεで抑えられる。
• 導関数のs次の外積のノルム|∧^s d_w R^n_x|は、|(1/n) log |∧^s d_w R^n_x| - (λ_1 + … + λ_s)| ≤ (1/n) log H_{ηε}(x) + ηεを満たす。ここでη = kθ、H_{ηε} = (M'_{θε})^kである。
• 収束性および歪み推定は、M^{q+1} < mという条件の下で成り立つ。ここでmとMは線形部の収縮率の下限および上限である。
• ユニタリ変換による線形部A_x^nのブロック対角化は、本質的なスペクトル推定を保存し、各不変部分空間における体積増大の制御を可能にする。