[論文レビュー] Normalized solutions with positive energies for a coercive problem and application to the cubic-quintic nonlinear Schr\"{o}dinger equation

Louis Jeanjean, S.C.-Y. Lu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2021

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 34被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、任意の次元 N ≥ 1 において、一般の質量下臨界条件の下で、強制的非線形シュレーディンガー方程式のクラスに対して、正のエネルギーを持つ正規化解の存在を確立する。局所的最小値およびマウンテンパス臨界点を L2-球面上に構成することで、グローバルなエネルギーの下界が達成されない場合でさえも、臨界質量 m* > 0 の左近傍で正のエネルギー解が存在することを証明する。結果は R3 における立方・五次 NLS に応用され、作用の基底状態が局所的最小値またはサドル型解となり得ることを示し、軌道的安定性および不安定性に影響を及ぼす。

ABSTRACT

In any dimension $N \geq 1$, for given mass $m > 0$ and when the $C^1$ energy functional \begin{equation*} I(u) := \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^N} | abla u|^2 dx - \int_{\mathbb{R}^N} F(u) dx \end{equation*} is coercive on the mass constraint \begin{equation*} S_m := \left\{ u \in H^1(\mathbb{R}^N) ~|~ \|u\|^2_{L^2(\mathbb{R}^N)} = m ight\}, \end{equation*} we are interested in searching for constrained critical points at positive energy levels. Under general conditions on $F \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ and for suitable ranges of the mass, we manage to construct such critical points which appear as a local minimizer or correspond to a mountain pass or a symmetric mountain pass level. In particular, our results shed some light on the cubic-quintic nonlinear Schr\"{o}dinger equation in $\mathbb{R}^3$.

研究の動機と目的

• L2-束縛非線形シュレーディンガー方程式におけるエネルギー汎関数の正のエネルギー水準における束縛臨界点を特定・構成すること。
• 質量下臨界領域において、正のエネルギー解に関する体系的な研究が不足していること、特に先行研究が負のエネルギーの基底状態に集中していることに対処すること。
• 特に、グローバル最小化子を超える作用基底状態の存在および安定性を明確にするために、R3 における立方・五次非線形シュレーディンガー方程式の変分的構造を解明すること。
• グローバルなエネルギー下界が達成されない場合でさえも、正のエネルギー解が局所的最小値またはマウンテンパス水準として生じ得ることを示すこと。

提案手法

• 非線形性 F が原点付近でどのように振る舞うかに基づき、L2-球面上での正のエネルギー水準の特定に役立つ、洗練された幾何的推定（補題 2.2 iii）を導入する。
• H1 半ノルムが閾値 ρ(m*) > 0 を超える部分集合 Sρm における局所的下界 Em を定義することで、強制性およびコンパクト性を保証する。
• 制約多様体 Sm 上で、特に局所的最小化およびマウンテンパス理論を用いた変分法を適用し、正のエネルギー水準における臨界点を求める。
• 非線形性が一般化されたアンブロセッティ＝ラビノウィッツ条件 (f5) を満たす場合に、マウンテンパス定理および対称的マウンテンパス定理を用いて解を構成する。
• 濃縮・コンパクト性の議論および、平行移動を除いて強収束する最小化列を用いて、局所的下界設定における最小化子の存在を証明する。
• 立方・五次非線形性 f(u) = |u|2u - |u|4u を R3 に適用し、周波数 ω をラグランジュ乗数に関連づけ、作用汎関数を用いて安定性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルエネルギー下界が達成されない場合でも、質量下臨界領域における L2-束縛非線形シュレーディンガー方程式に対して、正のエネルギーを持つ正規化解が存在しうるか？
• RQ2 この設定における正のエネルギー解の背後にある変分的構造（例：局所的最小値、マウンテンパス）は何か？
• RQ3 非線形性 F(u) が原点付近でどのように振る舞うかが、正のエネルギー解の存在および性質にどのように影響するか？
• RQ4 R3 における立方・五次 NLS に対して、作用基底状態が局所的最小値またはサドル型解となり得るか。また、それらの安定性特性は何か？

主な発見

• 任意の m ∈(m**, m*] に対して、局所的下界 Em > 0 は、RN 上で定数符号を持つ解 v ∈Sm によって達成され、正のエネルギーおよび正のラグランジュ乗数を有する。
• 最小化列の強収束および標準的な安定性議論により、m ∈(m**, m*] に対して局所的最小値 v は軌道的安定である。
• m > m* の場合、2 つの異なる周波数 ω1, ω2 ∈(0, 3/16) が存在し、それに対応する作用基底状態 vm および wm は I(vm) = Em > 0 および I(wm) > 0 を満たし、wm はマウンテンパス水準に対応する。
• 作用基底状態 vm = Uω1 は、I|Sm の局所的最小値ではあるがグローバル最小値ではない。これは、基底状態が必ずしもグローバル最小化子であるとは限らないことを示している。
• 作用基底状態 wm = Uω2 は、H1r(R3) の回転対称部分空間におけるマウンテンパス水準に対応し、サドル型の振る舞いを確認する。
• 本結果は [16, 定理 1.6(i) の逆は成り立たないことを否定する。P(u) = 0 である解がグローバル最小化子を保証するわけではない。m** > 0 は、正のエネルギーを持つ局所的最小値解の存在の鋭い閾値である。