[論文レビュー] Note on multiple q-zeta functions

T. Kim|ArXiv.org|Dec 30, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素 s 平面上における多重 q-Euler ゼータ関数の解析接続として、多重 q-ゼータ関数 ζ_r,q^E(s,x) を導入する。メリン変換、ローラン級数展開、コーシーの留数定理を用いて、関数方程式を確立し、ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x) を示す。これにより、関数は多重 q-Euler 多項式と関連づけられ、q-解析におけるディリクレ型 L 関数が一般化される。

ABSTRACT

In this paper, we construct the alternating multiple q-zeta function(= Multiple Euler q-zeta function) and investigate their properties. Finally, we give some interesting functional eauations related to q-Euler polynomials.

研究の動機と目的

• 複素 s 平面上における多重 q-Euler ゼータ関数 ζ_r,q^E(s,x) の定義と解析接続の研究。
• ローラン級数およびコーシーの留数定理を用いた極付近での振る舞いと関数方程式の確立。
• 多重の順序 r におけるディリクレ型 q-Euler L 関数の一般化と、多重 q-Euler 多項式への関連づけ。
• 特徴関数の和と q-整数の恒等式を用いた、多重 q-Euler 多項式の分布関係の導出。
• q-解析の技法を用いて、既知の q-ゼータ関数および q-Euler 関数の結果を多重的および一般化された設定へと拡張。

提案手法

• 多重 q-ゼータ関数を ζ_r,q^E(s,x) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^{m₁+⋯+mᵣ} / [x + m₁ + ⋯ + mᵣ]_q^s として定義。|q| < 1 かつ Re(x) > 0 を仮定。
• 生成関数 F_q^(r)(t,x) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^{m₁+⋯+mᵣ} e^{[m₁+⋯+mᵣ+x]_qt} にメリン変換を適用し、∫₀^∞ t^s−1 F_q^(r)(−t,x) dt / Γ(s) を経由して ζ_r,q^E(s,x) を導出。
• ローラン級数展開とコーシーの留数定理を用いて、負の整数における特殊値を評価：ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x)。
• 変数変換 m_j = f n_j + a_j を用いて、多重 q-Euler 多項式の分布関係を導出。結果として、E_n,q^(r)(x) = ([2]_q/[2]_q^f)^r [f]_qⁿ ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (−1)^∑aᵢ E_n,q^f^(r)((x + ∑aᵢ)/f) が得られる。
• 奇数の導手 f を持つディリクレ指標 χ を用いて一般化。l_q^(r)(s,x|χ) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^∑mᵢ χ(m₁)⋯χ(mᵣ) / [m₁+⋯+mᵣ+x]_q^s を定義。
• 関数方程式 l_q^(r)(s,x|χ) = [f]_q^−s ([2]_q/[2]_q^f)^r ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 χ(a₁)⋯χ(aᵣ) (−1)^∑aᵢ ζ_r,q^f^E(s, (x + ∑aᵢ)/f) を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素 s 平面上における多重 q-Euler ゼータ関数 ζ_r,q^E(s,x) はどのように解析接続されるか？
• RQ2 奇数の導手 f を持つディリクレ指標 χ に対して、l_q^(r)(s,x|χ) と ζ_r,q^f^E(s,x) の間の関数方程式は何か？
• RQ3 多重 q-Euler 多項式 E_n,q^(r)(x) の順序 r における分布関係は何か？
• RQ4 負の整数における特殊値 ζ_r,q^E(−n,x) は、多重 q-Euler 多項式 E_n,q^(r)(x) とどのように関係するか？
• RQ5 メリン変換および留数計算を用いて、多重 q-ゼータ関数と一般化された q-Euler 数の間の関係は何か？

主な発見

• 多重 q-ゼータ関数 ζ_r,q^E(s,x) は、すべての複素 s 平面上でメロモルフィックであり、非正の整数に極をもつ可能性がある。
• 負の整数における特殊値は ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x) を満たし、ゼータ関数と多重 q-Euler 多項式との間の明確な関連が確立される。
• E_n,q^(r)(x) の分布関係は、E_n,q^(r)(x) = ([2]_q/[2]_q^f)^r [f]_qⁿ ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (−1)^∑aᵢ E_n,q^f^(r)((x + ∑aᵢ)/f) として導出される。
• 一般化されたディリクレ型多重 q-Euler L 関数 l_q^(r)(s,x|χ) は、l_q^(r)(s,x|χ) = [f]_q^−s ([2]_q/[2]_q^f)^r ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 χ(a₁)⋯χ(aᵣ) (−1)^∑aᵢ ζ_r,q^f^E(s, (x + ∑aᵢ)/f) を満たす。
• 特殊値として l_q^(r)(−n,x|χ) = E_n,χ,q^(r)(x) が成り立ち、古典的な L 関数と一般化されたベルヌーイ数の関係が q-アナログの設定へと拡張される。
• E_n,χ,q^(r)(x) の閉形式は、E_n,χ,q^(r)(x) = [2]_q^r / (1−q)ⁿ × ∑_l=0ⁿ (n choose l) (−q^x)^l ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (χ(a₁)⋯χ(aᵣ)) (−q^l)^∑aᵢ / (1 + q^lf)^r で与えられる。