[論文レビュー] Note on the construction of globular weak omega-groupoids from types, topological spaces etc

John Bourke|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、van den BergとGarnerの型から弱いω群体を構成する手法を、Grothendieckによるより単純で直感的な弱いω群体の定義に再解釈する。グロテンドイックの定義を用いることで、型、位相空間、Kan複体から高次ホモトピー的構造をモデル化する際に、グロテンドイックの弱いω群体がバタニンのオリジナルの定義よりも直感的で実用的であることが示される。

ABSTRACT

A short introduction to Grothendieck weak omega-groupoids is given. Our aim is to give evidence that, in certain contexts, this simple language is a convenient one for constructing globular weak omega-groupoids. To this end, we give a short reworking of van den Berg and Garner's construction of a Batanin weak omega-groupoid from a type using the language of Grothendieck weak omega-groupoids.

研究の動機と目的

• バタニンのオリジナルの定義よりも、グロテンドイックの弱いω群体の定義が、高次群体を構成する際により透明でアクセスしやすい枠組みを提供することを示すこと。
• バタニンの弱いω圏ではなく、グロテンドイックの弱いω群体の言語を用いて、van den BergとGarnerによる型から弱いω群体を構成する手法を再構築すること。
• 同じ構成が、内挿的型理論における型に加え、位相空間やKan複体に対しても適用可能であることを示し、適用範囲を拡張すること。
• エンドモルフィズムグロブラー理論と因子分解系 (L,R) が、このような構成においてグロブラー作用素やバタニンの手法よりも洗練され、直感的な技術的基盤を提供することを主張すること。
• オリジナルの構成の核心的なアイデアを、簡素化された形式主義を用いて自己完結的かつ解説的かつ明確に提示すること。

提案手法

• グロブラー集合に可縮なエンドモルフィズム理論と、グロブラー対象の圏上の因子分解系 (L,R) を備えた、グロテンドイックの弱いω群体の定義を用いる。
• 恒等型の圏において反復的にパス対象構成を適用し、高次ホモトピーを符号化するグロブラー対象を生成する。
• 因子分解系 (L,R) を用いて、包含写像 $ i_{ar{n}}: A(0) o A(ar{n}) $ がL-写像であることを帰納法と引き戻し安定性を用いて証明する。
• 任意の平行なmセルのペアが (L,R)-因子分解を介して上に持ち上げられることを示すことにより、エンドモルフィズム理論 $ ext{End}(i/A) $ が可縮であることを示す。
• グロブラー和と引き戻しの普遍性を用いて、$ i_{ar{n}} $ を含む図式における対角フィラーを構成し、エンドモルフィズム構造の可縮性を保証する。
• 恒等型の圏（位相空間やKan複体の圏など）において、パス対象構成が所望の構造を備えた適切に扱えるグロブラー対象を生成することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンドイックの弱いω群体の定義は、型や空間から高次群体を構成する際に、より単純で透明な枠組みを提供できるか？
• RQ2 パス対象の反復的構成を用いて型から弱いω群体を構成する際、グロテンドイックの言語で定式化した場合とバタニンのオリジナルのフレームワークで定式化した場合とで、どのように異なるか？
• RQ3 得られたグロブラー対象がグロテンドイックの弱いω群体の公理を満たすために必要な構造的性質は何か？
• RQ4 この構成は、位相空間やKan複体に対しても同様に適用可能か。また、それらは恒等型の圏の枠組みにどのように適合するか？
• RQ5 なぜエンドモルフィズムグロブラー理論と (L,R)-因子分解系は、グロブラー作用素やバタニンの手法よりも、この構成に適しているのか？

主な発見

• バタニンの弱いω圏を用いて得られた型からの弱いω群体の構成は、グロテンドイックの弱いω群体の定義を用いることで、より透明に再表現可能である。
• 帰納法と引き戻し安定性を用いて、包含写像 $ i_{ar{n}}: A(0) o A(ar{n}) $ がL-写像であることが示され、(L,R)-因子分解構造を検証する上で重要なステップとなる。
• エンドモルフィズム理論 $ ext{End}(i/A) $ が可縮であることが示され、これが得られたグロブラー対象がグロテンドイックの弱いω群体であることを保証する中心的条件である。
• 恒等型の圏において反復的にパス対象構成を適用することで得られるグロブラー対象は、グロテンドイックの弱いω群体の公理を満たす構造を持つ。
• 位相空間とKan複体が恒等型の圏であることが示され、この構成が型理論の範囲を超えて直接適用可能であることが明らかになった。
• グロブラー和と (L,R)-因子分解系の使用により、バタニンの作用素的アプローチに比べ、整合性条件の検証が簡素化された。