[論文レビュー] Note on (weak) Gorenstein global dimensions

Najib Mahdou, Mohammed Tamekkante|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の環における弱Gorensteinグローバル次元を特徴づけ、Hilbertのシジーギー定理をこの文脈に拡張し、有限なGorenstein弱グローバル次元だが無限大の古典的弱次元をもつ非コherentlyな環の構成を通じて、正のGorenstein次元をもつ非コヒーレント環の存在を示している。

ABSTRACT

In this note we characterize the (resp., weak) Gorenstein global dimension for an arbitrary ring. Also, we extend the well-known Hilbert's syzygy Theorem to the weak Gorenstein global dimension and we study the weak Gorenstein homological dimensions of direct product of rings, which gives examples of non-coherent rings of finite Gorenstein dimensions $>0$ and infinite classical weak dimension.

研究の動機と目的

• 任意の環における弱Gorensteinグローバル次元の特徴づけ、古典的ホモロジー次元の一般化。
• 弱Gorensteinグローバル次元の文脈においてHilbertのシジーギー定理を拡張すること。
• 環の直積における弱Gorensteinホモロジー次元の挙動の研究。
• 有限なGorenstein弱グローバル次元だが無限大の古典的弱次元をもつ非コヒーレント環の例の構成。
• 非ネーター的かつ非コヒーレントな設定におけるGorenstein次元と古典的ホモロジー次元の関係の明確化。

提案手法

• Gorenstein平坦加群の特徴づけを、injective加群とのTorファンクターの消失を通じて行う。
• 文字モジュール構成 $M^+ = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ を用いて、平坦次元とインジェクティブ次元の双対性を応用する。
• Lemma 2.15 を用いて、多項式拡張における中心的非ゼロ因子を通じたインジェクティブ次元の転送を実行する。
• Theorem 2.10 を適用し、弱Gorensteinグローバル次元とすべてのインジェクティブ $R$-加群の平坦次元の上限との関係を確立する。
• 直接積 $T_n \times S$ を用いた例の構成、ここで $T_n = R[X_1, \dots, X_n]$ で $R = K[X]/(X^2)$ であり、$S$ は $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ をみたす非コヒーレント環である。
• 既知の多項式環および直積に関するGorenstein次元の結果を用いて、$\operatorname{wGgldim}(T_n \times S)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の環における弱Gorensteinグローバル次元の特徴づけは何か？
• RQ2 弱Gorensteinグローバル次元は多項式拡張においてどのように振る舞うか？
• RQ3 非コヒーレント環が有限なGorenstein弱グローバル次元をもつが、同時に無限大の古典的弱次元をもつことは可能か？
• RQ4 非コヒーレント環において、弱Gorensteinグローバル次元と古典的弱グローバル次元の関係は何か？
• RQ5 Hilbertのシジーギー定理はGorenstein弱グローバル次元の文脈に拡張可能か？

主な発見

• 環 $R$ の弱Gorensteinグローバル次元は、すべてのインジェクティブ $R$-加群の平坦次元の上限として特徴づけられる。
• 多項式環 $R[x]$ の弱Gorensteinグローバル次元は、ちょうど $\operatorname{wGgldim}(R) + 1$ に等しく、Hilbertのシジーギー定理がGorensteinの文脈に拡張されることを示している。
• 直接積 $T_n \times S$ に対して、$T_n = R[X_1, \dots, X_n]$ で $R = K[X]/(X^2)$ かつ $S$ が $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ をみたす非コヒーレント環であるとき、$\operatorname{wGgldim}(T_n \times S) = n$ が成り立つ。
• 環 $T_n \times S$ は非コヒーレントである（$S$ が非コヒーレントであるため）、非コヒーレントであっても有限なGorenstein弱グローバル次元をもつことが示された。
• $T_n \times S$ の古典的弱次元は無限大である（$\operatorname{wdim}(S) = \infty$ であるため）、古典的次元とGorenstein弱次元の間には明確な分離が存在することが示された。
• この構成により、正の有限なGorenstein弱グローバル次元と無限大の古典的弱次元をもつ非コヒーレント環の明示的例が得られた。