[論文レビュー] Notes on entanglement entropy for excites holographic states in 2d

R. C. Rashkov|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Quantum many-body systems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元CFTにおける励起されたホログラフィック状態のエンタングルメント・エントロピー寄与項について、レプリカ法を用いて正確な式を導出している。これにより、アハロノフ不変量、ファーバー多項式、グリューンスキー係数、分散なしToda可積分系のτ関数と関連づけられている。主な結果は、エンタングルメント・エントロピーと可積分系との間の新規な関係であり、分散なしTodaのτ関数の2階微分を通じて実現され、ホログラフィー、共形場理論、可積分階層の間の深い関係を示唆している。

ABSTRACT

In this work we revisit the problem of contributions of excited holographic states to the entanglement entropy in two-dimensional conformal field theories. Using the results of replica trick method we find three expressions for these contributions. First, we express the contribution of the excited states in terms of Aharonov invariants. It is shown that beside the Schwarzian, the one-point functions of descendants of energy-momentum also contribute. Given Schwarz-Christoffel map, the contributions to any order can be easily computed. The second expression relates the entanglement entropy of excited states to Faber polynomials and Grunsky coefficients. Based on the relation of Grunsky coefficiens to tau-funcion of dispersionless Toda hierarchy, we find the third expression for contributions of excited holographic states to the entanglement entropy.

研究の動機と目的

• 2次元CFTにおける励起状態が真空状態とは異なり、エンタングルメント・エントロピーにどのように寄与するかを理解すること。
• レプリカ法と共形変換が非真空状態におけるRényiエントロピーおよびエンタングルメント・エントロピーの計算に果たす役割を調査すること。
• エンタングルメント・エントロピーとアハロノフ不変量、ファーバー多項式、グリューンスキー係数といった数学的構造との関係を確立すること。
• エンタングルメント・エントロピーと分散なしToda階層との間の根本的関係を、τ関数を通じて予想すること。
• 共形写像と可積分系の道具を用いて、エンタングルメント・エントロピー寄与項を任意の次数まで計算するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 励起状態におけるRényiエントロピーを計算し、n→1極限でのエンタングルメント・エントロピーを抽出するためにレプリカ法を用いる。
• エンタングルメント・エントロピーの差分S_vac - S_exを、シュワーツ＝クリストッフェル写像とアハロノフ不変量（前シュワーツおよびシュワーツ微分を含む）の比の対数関数として表現する。
• 共形写像理論を通じて、エンタングルメント・エントロピーをファーバー多項式とグリューンスキー係数に関連付ける。
• グリューンスキー係数が分散なしToda階層の自由エネルギーの2階微分に等しいことを確立する。
• 分散なしTodaのτ関数を用いて、エンタングルメント・エントロピー差分の閉形式表現を導出し、∂²F/∂tₘ∂tₙに依存することを示す。
• グリューンスキー係数の母関数を用いて、エンタングルメント・エントロピー寄与項を順次計算できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CFTにおける励起されたホログラフィック状態は、真空状態とは異なり、エンタングルメント・エントロピーにどのように寄与するか？
• RQ2 エネルギー運動量テンソルの1点関数およびその自己共役の寄与が、エンタングルメント・エントロピーに果たす役割は何か？
• RQ3 共形写像とファーバー多項式などの特別関数を用いて、励起状態のエンタングルメント・エントロピーを体系的に展開できるか？
• RQ4 2次元CFTおよびホログラフィーの文脈において、グリューンスキー係数とエンタングルメント・エントロピーの関係は何か？
• RQ5 エンタングルメント・エントロピーと分散なしToda階層のような可積分系との間に、より深い関係があるか？

主な発見

• エンタングルメント・エントロピー差分S_vac - S_exは、シュワーツ＝クリストッフェル写像とその微分の比の対数関数として表され、前シュワーツおよびシュワーツ不変量の両方の寄与を含む。
• 励起状態のエンタングルメント・エントロピー寄与には、スケール・テンソルの1点関数に加え、恒等演算子のすべての自己共役が含まれる。
• 問題はファーバー多項式とグリューンスキー係数を用いて再定式化され、任意の次数におけるエンタングルメント・エントロピー寄与を体系的に計算する方法を提供する。
• グリューンスキー係数が分散なしToda階層の自由エネルギーの2階微分に等しいことが示され、エンタングルメント・エントロピーと可積分系との直接的な関係が確立された。
• エンタングルメント・エントロピー差分は、S_vac - S_ex = (c/12) log(1 + (z−w)² ∑_{m,n} ∂²F/∂tₘ∂tₙ z^{−m−1}w^{−n−1}) として表現され、Fは分散なしTodaの自由エネルギーである。
• 本稿では、ホログラフィックなエンタングルメント・エントロピーと分散なしToda階層との間の深遠な関係を予想し、エンタングルメント・エントロピーが可積分的ダイナミクスに支配されている可能性を示唆している。