[論文レビュー] Notes on supersymmetric Sp(N) theories with an antisymmetric tensor

Freddy Cachazo|ArXiv.org|Jul 6, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、正則な1形式の周期の整数性条件を用いて一般化されたKonishi異常方程式を適用することにより、反対称テンソルと三次超ポテンシャルを有する $χ=1$ supersymmetric $Sp(N)$ゲージ理論における低エネルギー超ポテンシャルの不一致を解消した。$Sp(2)$、$Sp(4)$、$Sp(6)$、$Sp(8)$ において、動的生成超ポテンシャルとの完全な一致を示し、従来の仮定であった「カットがオンシェルで閉じる」という仮定の失敗が、過去の不一致を説明していることを示した。

ABSTRACT

We study supersymmetric Sp(N) gauge theories with an antisymmetric tensor and degree n+1 tree level superpotential. The generalized Konishi anomaly equations derived in hep-th/0304119 and hep-th/0304138 are used to compute the low energy superpotential of the theory. This is done by imposing a certain integrality condition on the periods of a meromorphic one form. Explicit computations for Sp(2), Sp(4), Sp(6) and Sp(8) with cubic superpotential are done and full agreement with the results of the dynamically generated superpotential approach is found. As a byproduct, we find a very precise map from Sp(N) to a U(N+2n) theory with one adjoint and a degree n+1 tree level superpotential.

研究の動機と目的

• 反対称テンソルを有する $\mathcal{N}=1$ $Sp(N)$ 理論において、Konishi異常に基づく計算と動的生成超ポテンシャル結果との間の長年の不一致を解消すること。
• チャーラル環における $A$-サイクル周期条件の役割と、低エネルギー有効超ポテンシャルに与える影響を明確化すること。
• vanishing period がカットの閉じることを意味すると仮定する考え方が、$Sp(N)$ 理論では誤りであることを示し、過去の不一致を説明すること。
• $Sp(N)$ から、随伴場と次数 $n+1$ の超ポテンシャルを有する $U(N+2n)$ 理論への正確な写像を確立すること。
• 既知の動的超ポテンシャル計算と完全に一致することを示すことにより、一般化されたKonishi異常アプローチを検証すること。$Sp(2)$、$Sp(4)$、$Sp(6)$、$Sp(8)$ に対して。

提案手法

• hep-th/0304119 および hep-th/0304138 で導出された一般化されたKonishi異常方程式を用いて、低エネルギー超ポテンシャルを計算する。
• 生成関数 $T(z) = \langle \mathrm{Tr} \, (z - \Phi)^{-1} \rangle$ の周期に整数性条件を課す。具体的には $\frac{1}{2\pi i} \oint_{A_1} T(z) dz = N$ および $\frac{1}{2\pi i} \oint_{A_2} T(z) dz = 0$。
• $y^2 = (W'(z))^2 + f(z)$ で定義されるリーマン面を分析する。ここで $W'(z) = 0$ は古典的F項方程式である。
• 赤色サイクル $B$-サイクルの $T(z) dz$ の周期が整数であるという条件を、赤色領域のダイナミクスを組み込むために適用する。
• $Sp(2)$、$Sp(4)$、$Sp(6)$、$Sp(8)$ に対して、三次超ポテンシャルを仮定し、明示的な計算を行い、動的超ポテンシャル法との比較を実施する。
• $A_2$ サイクルがオンシェルで閉じないことが特定され、$U(N)$ 理論で用いられる一般的な仮定に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ反対称テンソルを有する $Sp(N)$ 理論において、Konishi異常計算が $\Lambda^{3h}$ 次で動的生成超ポテンシャル結果と一致しなかったのか？
• RQ2 $Sp(N)$ 理論におけるチャーラル演算子生成関数 $T(z)$ の周期積分の正しい条件は何か？
• RQ3 $Sp(N)$ ゲージ理論において、周期がゼロであればカットが閉じるという仮定は成り立つか？$U(N)$ 理論での仮定と同様に成り立つか？
• RQ4 一般化されたKonishi異常アプローチは、三次超ポテンシャルを有する $Sp(4)$、$Sp(6)$、$Sp(8)$ に対して、完全な動的超ポテンシャルを再現できるか？
• RQ5 $Sp(N)$ 理論（反対称テンソルを有する）と、随伴場と次数 $n+1$ の木レベル超ポテンシャルを有する $U(N+2n)$ 理論との正確な写像は何か？

主な発見

• $\frac{1}{2\pi i} \oint_{A_2} T(z) dz = 0$ という整数性条件は、$A_2$ カットがオンシェルで閉じることを意味しない。これは、$U(N)$ 理論で一般的に仮定されていることと矛盾する。
• $Sp(4)$ に対して、トレースレスの場合の低エネルギー超ポテンシャルは $W_{\text{low}}^{\text{Traceless}} = 3\Lambda^3 - \frac{1}{2}\Lambda^6 \frac{g^2}{m^3} - \frac{1}{2}\Lambda^9 \frac{g^4}{m^6} - \frac{187}{216}\Lambda^{12} \frac{g^6}{m^9} - \frac{1235}{648}\Lambda^{15} \frac{g^8}{m^{12}} + \mathcal{O}(\Lambda^{18})$ である。
• $Sp(6)$ に対して、トレースレスの超ポテンシャルは $W_{\text{low}}^{\text{Traceless}} = 4\Lambda^3 - \frac{1}{6}\Lambda^6 \frac{g^2}{m^3} - \frac{7}{216}\Lambda^9 \frac{g^4}{m^6} - \frac{5}{432}\Lambda^{12} \frac{g^6}{m^9} - \frac{221}{41472}\Lambda^{15} \frac{g^8}{m^{12}} + \mathcal{O}(\Lambda^{18})$ である。
• $Sp(8)$ に対して、トレースレスの超ポテンシャルは $W_{\text{low}}^{\text{Traceless}} = 5\Lambda^3 - \frac{1}{4}\Lambda^6 \frac{g^2}{m^3} - \frac{1}{10}\Lambda^9 \frac{g^4}{m^6} - \frac{14}{200}\Lambda^{12} \frac{g^6}{m^9} - \frac{1}{16}\Lambda^{15} \frac{g^8}{m^{12}} + \mathcal{O}(\Lambda^{18})$ である。
• この方法は、$Sp(4)$、$Sp(6)$、$Sp(8)$ に対して、動的生成超ポテンシャルを完全に再現し、過去の不一致を解消した。
• $Sp(N)$ から、随伴場と次数 $n+1$ の木レベル超ポテンシャルを有する $U(N+2n)$ 理論への正確な写像が得られ、双対記述が得られた。