[論文レビュー] A Perturbative Window into Non-Perturbative Physics

Robbert Dijkgraaf, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Aug 7, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用数 365

ひとこと要約

本稿では、${\cal N}=1$ supersymmetric gauge理論における正確な有効超ポテンシャルが、同一理論の平面図の和をとることで摂動的に計算可能であると提唱している。この計算は、樹形超ポテンシャルを作用とする行列模型に写像され、摂動的グラフ展開が正確な非摂動的 instanton効果を生み出す。Seiberg-Witten や Montonen-Olive duality といった双対性が、非双対理論や予想を必要とせず、純粋に摂動的平面的視点から導かれる。

ABSTRACT

We argue that for a large class of N=1 supersymmetric gauge theories the effective superpotential as a function of the glueball chiral superfield is exactly given by a summation of planar diagrams of the same gauge theory. This perturbative computation reduces to a matrix model whose action is the tree-level superpotential. For all models that can be embedded in string theory we give a proof of this result, and we sketch an argument how to derive this more generally directly in field theory. These results are obtained without assuming any conjectured dualities and can be used as a systematic method to compute instanton effects: the perturbative corrections up to n-th loop can be used to compute up to n-instanton corrections. These techniques allow us to see many non-perturbative effects, such as the Seiberg-Witten solutions of N=2 theories, the consequences of Montonen-Olive S-duality in N=1* and Seiberg-like dualities for N=1 theories from a completely perturbative planar point of view in the same gauge theory, without invoking a dual description.

研究の動機と目的

• ${\cal N}=1$ supersymmetric gauge理論における摂動的平面図と正確な非摂動的力学の間の直接的な関係を確立すること。
• 同じゲージ理論のすべての平面図を和算することで、グルーブロック超多重スカラー $S$ の有効超ポテンシャルが正確に与えられることを示すこと。
• この摂動的計算が、樹形超ポテンシャルを作用とする行列模型に還元され、正確な再結合が可能になること。
• 双対理論や弦理論を用いずに、Seiberg-Witten 解や Montonen-Olive 双対性といった非摂動的現象を導出すること。
• $n$-ループ摂動結果から $n$-instanton補正を体系的に計算する方法を提供すること。

提案手法

• グルーブロック超多重スカラー $S = \frac{1}{32\pi^2} \mathrm{Tr} \, W_\alpha W^\alpha$ の関数として、平面図の和を用いて有効超ポテンシャルを計算する。
• 平面図が、樹形超ポテンシャルに等しい作用を持つ行列模型に還元されることを示す。
• 弦理論に埋め込める理論に対しては、幾何的遷移と位相的弦理論を含む双対性の鎖を用いて結果を証明する。
• 弦理論を用いないフィールド理論的議論を概説し、正則性と局在化に依存する。
• 種数 $g$ の摂動的図が $g$-instanton補正を計算することを示し、種数1の図が重力への $R^2$ カップリングを生じることを示す。
• 行列模型の $N \to \infty$ 解が、非摂動的力学を符号化する Calabi-Yau 3-fold の幾何を定義することを解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal N}=1$ ゲージ理論における正確な有効超ポテンシャルは、同一理論の平面図による摂動的計算で得られるか？
• RQ2 同じゲージ理論における平面図の和算が、instanton や双対性といった非摂動的効果を再現するか？
• RQ3 平面図から導かれる行列模型が、Seiberg-Witten や Montonen-Olive 双対性を含む完全な非摂動的構造を捉えられるか？
• RQ4 双対記述が存在しない状況で、摂動的種数展開が分数的 instanton 展開と等価か？
• RQ5 この方法により、$n$-ループ摂動論から $n$-instanton 補正を体系的に計算できるか？

主な発見

• ${\cal N}=1$ 理論における有効超ポテンシャルは、双対記述を必要とせず、同一理論のすべての平面図の和として正確に与えられる。
• この平面図の和算は、樹形超ポテンシャルに等しい作用を持つ行列模型に還元され、正確な再結合が可能になる。
• 摂動展開における種数 $g$ 項が $g$-instanton 補正を計算することを示し、摂動論と非摂動的効果の直接的な関係を確立する。
• ${\cal N}=1^*$ 理論に対しては、種数1補正が $f(\tau_0) = -\log \eta(\tau_0/2)$ カップリングを再現し、$\eta$-関数行列式から得られる既知の結果と一致する。
• 行列模型の $N \to \infty$ 解から得られる Calabi-Yau 3-fold の幾何は、非摂動的力学を符号化しており、ホロモーフィック3形式の $A$-および $B$-サイクル積分に関連する周期を示す。
• $S$-双対性群のモジュラー変換が、行列模型の周期に作用し、完全な双対性構造が平面的極限から自然に生じることを示す。