[論文レビュー] Notes on the differentiation of quasi-convex functions

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、擬凸関数の基本的な微分可能性に関する性質について、初等的で自明な証明を提供する。特に、このような関数が上側接触点で微分可能であり、勾配が局所的に連続であることを確立する。主な貢献は、上側接触ジェットが、全測度集合上で二階ジェットの閉包に含まれることを示す統一的定理であり、これによりヘッセ行列の部分的上半連続性が導かれ、ゼンセンとスロドコフスキーの結果が、擬凸解析の新しい、簡潔な枠組みによって統一される。

ABSTRACT

This expository paper presents elementary proofs of four basic results concerning derivatives of quasi-convex functions. They are combined into a fifth theorem which is simple to apply and adequate in many cases. Along the way we establish the equivalence of the basic lemmas of Jensen and Slodkowski.

研究の動機と目的

• 擬凸関数の核心的な微分可能性性質について、初等的かつ自明な証明を確立すること。
• ゼンセンとスロドコフスキーの古典的結果、すなわち上側接触ジェットに関する結果を、一つの適用可能な定理に統一すること。
• 上側接触ジェット、勾配の部分的連続性、およびほとんど everywhere での二階微分可能性に関するアレクサンドロフの定理との関係を明確にすること。
• 全測度の仮定の下で、二階微分可能点の集合が上側接触ジェットの台において稠密であることを示すこと。
• 関数が $ C^{1,1} $ であるための必要十分条件を、同時に擬凸かつ擬凹であることとして特徴づけること。

提案手法

• 上側接触ジェット $(p, A)$ を、点 $x$ の近傍で関数 $u$ を二階上から近似するものとして定義する。すなわち、$ u(y) \leq u(x) + \langle p, y-x \rangle + \frac{1}{2}\langle A(y-x), y-x \rangle $ を満たす。
• 関数 $u + \frac{\lambda}{2}|x|^2$ の凸性を用いて、上側接触点における勾配 $p$ が一意的であることを示すことにより、微分可能性を証明する。
• 点列 $x_j \to x$ において $u$ が微分可能であれば、$D_{x_j}u \to D_xu$ が成り立つことから、勾配の部分的連続性を確立する。
• スロドコフスキーの補題とゼンセンの補題を用いて、厳密な上側接触ジェットが、小さな球内でのグローバル上側接触点の正の測度を有することを証明する。
• ラデマッハの定理およびサードの定理を適用し、$u$ が二階微分可能な点の集合が全測度を占めることを示す。これにより、主定理における閉包の議論が可能になる。
• 近似恒等元との畳み込みを用いて、一般の $C^{1,1}$ 場合を滑らかな場合に還元する。$u$ が $\lambda$-擬凸であるための必要十分条件は、$\pm u$ がともに $\lambda$-擬凸であることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬凸関数が点で微分可能であるための条件は何か。また、上側接触ジェットによって勾配は一意に定まるか。
• RQ2 微分可能点に収束する点列に沿って、擬凸関数の勾配はどのように振る舞うか。
• RQ3 厳密な上側接触ジェットの存在と、小さな近傍内でのグローバル上側接触点の正の測度との関係は何か。
• RQ4 ゼンセンとスロドコフスキーの上側接触ジェットに関する結果を、擬凸関数のための一つの一般的な定理に統一できるか。
• RQ5 $C^{1,1}$ 正則性と、関数が同時に擬凸かつ擬凹であることとの正確な関係は何か。

主な発見

• 擬凸関数は、すべての上側接触点で微分可能であり、勾配は上側接触ジェットによって一意に定まる。
• 擬凸関数の勾配は部分的連続性を有する。すなわち、$x_j \to x$ かつ各 $x_j$ および $x$ で $u$ が微分可能であれば、$D_{x_j}u \to D_xu$ が成り立つ。
• 任意の厳密な上側接触ジェット $(p, A)$ に対し、$\bar{\rho} > 0$ が存在し、すべての $\rho \leq \bar{\rho}$ に対して、$B_\rho(x)$ 上の型 $A$ のグローバル上側接触点の集合が正の測度を有する。
• 主定理は、任意の全測度集合 $E$ に対して $J^+(u) \subset \overline{J(u,E)}$ を示し、これによりヘッセ行列の部分的上半連続性が導かれる。
• 関数 $u$ が $\lambda$-擬凸かつ $\lambda$-擬凹であるための必要十分条件は、$u$ が $C^{1,1}$ であり、$|D_xu - D_yu| \leq \lambda|x-y|$ を満たすことである。
• 近似恒等元との畳み込みは $\lambda$-擬凸性を保ち、一般の $C^{1,1}$ 場合を滑らかな場合に還元可能である。