[論文レビュー] Notes on twisted equivariant $\mathrm{K}$-theory for $\mathrm{C}^*$-algebras

Yosuke Kubota|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Z₂-次数付きC*-代数に対して、ねじれ表現を伴うヒルベルト加群上のフレドホルム作用素を用いて一般化されたねじれ-equivariant K理論を導入し、自明な次数付き代数に対しては簡潔な表現を与える。van DaeleのK理論と関連づけられ、CT型対称性を有するトポロジカルインシュレータにおけるバルク-エッジ対応に応用される。

ABSTRACT

In this paper, we study a generalization of twisted (groupoid) equivariant $\mathrm{K}$-theory in the sense of Freed-Moore for $\mathbb{Z}_2$-graded $\mathrm{C}^*$-algebras. It is defined by using Fredholm operators on Hilbert modules with twisted representations. We compare it with another description using odd symmetries, which is a generalization of van Daele's $\mathrm{K}$-theory for $\mathbb{Z}_2$-graded Banach algebras. In particular, we obtain a simple presentation of the twisted equivariant $\mathrm{K}$-group when the $\mathrm{C}^*$-algebra is trivially graded. It is applied for the bulk-edge correspondence of topological insulators with CT-type symmetries.

研究の動機と目的

• Z₂-次数付きC*-代数に対するFreed-Mooreのねじれ-equivariant K理論を、ねじれ表現を伴うヒルベルト加群上のフレドホルム作用素を用いて一般化すること。
• この定式化をZ₂-次数付きバナッハ代数に対するvan DaeleのK理論と比較し、統一的な枠組みを提供すること。
• C*-代数が自明に次数づけられている場合のねじれ-equivariant K群の簡潔な表現を提示すること。
• CT型対称性を有するトポロジカルインシュレータにおけるバルク-エッジ対応に理論を応用すること。
• Toeplitz完全系列における境界写像と量子系におけるバルク-エッジ対応との関係を確立すること。

提案手法

• φ-ねじれG-C*-代数上の双関手として、$^\phi\mathrm{KK}^{\mathcal{G}}_{c,\tau}(A,B)$ を twisted equivariant KK理論群として定義する。
• フレドホルム作用素のアティヤの定式化を一般化し、$^\phi\mathrm{K}^{\mathcal{G}}_{c,\tau}(A) = {}^\phi\mathrm{KK}^{\mathcal{G}}_{c,\tau}(\mathbb{R}, A)$ を twisted equivariant K理論群として構成する。
• カローブィ三重対を用いて、ねじれ-equivariant K群とvan Daele型K群との同型を確立する。
• 指数写像を用いて、長完全系列における境界写像の表現を簡略化する。
• Toeplitz拡大にこの枠組みを適用し、CT型対称性を有するトポロジカルインシュレータにおけるバルク-エッジ対応を導出する。
• CT型対称性に対して、$^\phi\mathscr{K}_{0,c,\tau}^{\mathcal{G}}(A)$ と $\mathrm{KF}_n^{\mathcal{G}_0}(A)$ の同型を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ表現を伴うフレドホルム作用素を用いて、Z₂-次数付きC*-代数に対するねじれ-equivariant K理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 フレドホルム作用素に基づくねじれK理論と、Z₂-次数付きバナッハ代数に対するvan DaeleのK理論との関係は何か？
• RQ3 自明に次数づけられたC*-代数に対して、ねじれ-equivariant K群の簡潔な表現を得ることは可能か？
• RQ4 長完全系列における境界写像は、トポロジカルインシュレータにおけるバルク-エッジ対応とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、CT型対称性を有するフェルミオン系のギャップありハミルトニアンをどの程度分類できるか？

主な発見

• A = C_0(X) のとき、ねじれ-equivariant K群 $^\phi\mathrm{K}^{\mathcal{G}}_{c,\tau}(A)$ は、X 上の twisted $\mathcal{G}$--equivariant フレドホルム作用素族のホモトピー類の群と同型である。
• ねじれ-equivariant KK理論枠組みにおいて、グリーン＝ジュールの定理の一般化が確立された。
• 自明に次数づけられたC*-代数に対しては、カローブィ三重対によるカローブィのK理論に類似した表現が可能である。
• CT型対称性とねじれ $(\phi, 0, \tau)$ に対して、群 $^\phi\mathscr{K}_{0,c,\tau}^{\mathcal{G}}(A)$ は $\mathrm{KF}_n^{\mathcal{G}_0}(A)$ と同型であり、この枠組みはキタエフの周期表と結びつく。
• Toeplitz完全系列における境界写像 $\partial$ は $\partial[s] = [-\exp(\pi i \tilde{s})]$ と与えられ、バルク-エッジ対応の数学的実現が得られる。
• Toeplitz拡大において、境界写像 $\partial: {}^\phi\mathscr{K}_{0,c,\tau}^{\mathcal{G}}(A/I) \to {}^\phi\mathscr{K}_{-1,c,\tau}^{\mathcal{G}}(I)$ は $0 \oplus \mathrm{id}_{\mathrm{KF}_{n-1}(A)}$ として実現され、エッジ状態の分類が確認された。